rekursive Folge - Ind. Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 05.12.2010 | | Autor: | NoAim |
| Aufgabe | Die Folge n a ist rekursiv definiert durch [mm] a_{1} [/mm] = 1 , [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{n}\*a_{n}^{2}}. [/mm] n=1,2,3... .
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass [mm] a_{n} [/mm] nach unten durch 1 beschränkt ist. (Folge monoton fallend) |
Hallo,
also ich habe mir jetzt folgendermaßen angefangen:
I. Induktionsanfang n1 = 1
1 [mm] \le [/mm] 1 w.A.
2. Induktionsvorraussetzung
für ein beliebig aber fest gewähltes n [mm] \in \IN, [/mm] n > 1 gelte
1 [mm] \le \wurzel{1+\bruch{1}{n}\*a_{n}^{2}}
[/mm]
3. Induktionssschluss
Gedanke: Da 1/n für ein n -> [mm] \infty [/mm] gegen 0 strebt wird auch das [mm] a_{n}^{2} [/mm] (trotz des Quadrates) immer kleiner als 1. Somit wächst [mm] \bruch{1}{n} [/mm] schneller als [mm] a_{n}^{2} [/mm] welches den Grenzwert [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1 ergeben würde. Nur wie beweis ich das? Habt Ihr/ haben Sie einen kleinen Tipp für mich?
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 So 05.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi noAim,
> Die Folge n a ist rekursiv definiert durch [mm]a_{1}[/mm] = 1 ,
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{1+\bruch{1}{n}\*a_{n}^{2}}.[/mm] n=1,2,3... .
>
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass [mm]a_{n}[/mm] nach
> unten durch 1 beschränkt ist. (Folge monoton fallend)
> Hallo,
>
> also ich habe mir jetzt folgendermaßen angefangen:
>
> I. Induktionsanfang n1 = 1
>
> 1 [mm]\le[/mm] 1 w.A.
>
> 2. Induktionsvorraussetzung
> für ein beliebig aber fest gewähltes n [mm]\in \IN,[/mm] n > 1
> gelte
> 1 [mm]\le \wurzel{1+\bruch{1}{n}\*a_{n}^{2}}[/mm]
was ja soviel heisst wie [mm] $a_{n+1}\ge [/mm] 1$
>
> 3. Induktionssschluss
> Gedanke: Da 1/n für ein n -> [mm]\infty[/mm] gegen 0 strebt
> wird auch das [mm]a_{n}^{2}[/mm] (trotz des Quadrates) immer kleiner
> als 1. Somit wächst [mm]\bruch{1}{n}[/mm] schneller als [mm]a_{n}^{2}[/mm]
> welches den Grenzwert [mm]\wurzel{1}[/mm] = 1 ergeben würde. Nur
> wie beweis ich das? Habt Ihr/ haben Sie einen kleinen Tipp
> für mich?
Das scheint mir zu kompliziert gedacht. Folge erstmal lieber dem Induktionsschema, bei dem du (beim Induktionsschluss) von n auf n+1 schliessen sollst. (Oder auch von n+1 auf n+2, weil du ja als Ind.vor. [mm] a_{n+1} [/mm] statt [mm] a_n [/mm] genommen hast, was aber nicht schlimm ist).
Zu zeigen ist also: [mm] $a_{n+2}\ge [/mm] 1$
Das ist nicht schwer. Du musst nur ausschreiben was das heisst und dann die Ind.Vorraussetzung (meine Version) einsetzen. Dann sieht man es ganz gut.
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> Mit freundlichen Grüßen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 05.12.2010 | | Autor: | NoAim |
Hallo,
ich hab mir jetzt das folgende nochmal überlegt:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{n}\*a_{n}\* a_{n}} \ge [/mm] 1
Da laut Induktionsvorrausetzung [mm] a_{n} \ge [/mm] 1 ist wird das Produkt von [mm] a_{n}*a_{n} \ge [/mm] 1.
Was jetzt nun meine Idee ist damit der gesamte Ausdruck kleiner als 1 werden müsste, müsse unter der Wurzel etwas was kleiner als 1 stehen. Aufgrund der Vorraussetzung bei dem [mm] a_{n}^{2} [/mm] immer [mm] \ge [/mm] 1 ist wird der gesamte Ausdruck nach dem + immer größer als 1. Somit würde der Radikant immer größer als 1 werden was zur folge hat, dass [mm] a_{n+1} [/mm] größer als 1 immer sein wird.
Im worst-case wäre [mm] a_{n} [/mm] = 1 wodurch im Radikanten [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] stehen würde. Somit ist der Radikant immer größer als 1 und die Wurzel ebenso. q.e.d? :/
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