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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Di 08.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | a [mm] \in [/mm] (0,2); [mm] (x_n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ist rekursiv definiert durch [mm] x_1=a; x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{x_n +2}
[/mm]
Beweise, dass [mm] \forall x_n [/mm] gilt [mm] x_n \in [/mm] (0,2)
ps Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt |
Hey,
also ich dachte man muss das so lösen:
als erstes macht man eine Fallunterscheidung:
sei n=1, dann gilt [mm] x_1 [/mm] = a < [mm] \wurzel{a +2} [/mm] und dann
sei n>1, dann gilt:
[mm] x_n [/mm] = [mm] \wurzel{x_{n-1} +2} [/mm]
[mm] \gdw (x_n)^2 [/mm] = [mm] x_{n-1} [/mm] +2
[mm] \gdw (x_n) [/mm] = [mm] \bruch{x_{n-1} +2}{x_n} [/mm] < [mm] \bruch{x_n +2}{x_n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2}{x_n} [/mm] < 2
reicht das eigentlich, denn im Prinziep habe ich ja nur gezeigt, dass es durch 2 beschränkt ist, aber ich hab nichts mit der Null gemacht.
Wäre echt super nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte
lg penguin
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Hi,
> a [mm]\in[/mm] (0,2); [mm](x_n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ist rekursiv definiert durch
> [mm]x_1=a; x_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{x_n +2}[/mm]
>
> Beweise, dass [mm]\forall x_n[/mm] gilt [mm]x_n \in[/mm] (0,2)
>
> ps Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
> Hey,
> also ich dachte man muss das so lösen:
> als erstes macht man eine Fallunterscheidung:
>
Warum machst du eine Fallunterscheidung hier?
Hat die Fallunterscheidung zu dem gewünschten Ergebnis geführt?
> sei n=1, dann gilt [mm]x_1[/mm] = a < [mm]\wurzel{a +2}[/mm] und dann
>
> sei n>1, dann gilt:
> [mm]x_n[/mm] = [mm]\wurzel{x_{n-1} +2}[/mm]
> [mm]\gdw (x_n)^2[/mm] = [mm]x_{n-1}[/mm] +2
> [mm]\gdw (x_n)[/mm] = [mm]\bruch{x_{n-1} +2}{x_n}[/mm] < [mm]\bruch{x_n +2}{x_n}[/mm]
> = 1 + [mm]\bruch{2}{x_n}[/mm] < 2
>
> reicht das eigentlich, denn im Prinziep habe ich ja nur
> gezeigt, dass es durch 2 beschränkt ist, aber ich hab
> nichts mit der Null gemacht.
Hier hast du leider benutzt, dass [mm] $x_n \in [/mm] (0,2)$ , um zu zeigen, dass [mm] $x_n \in [/mm] (0,2)$ .
> Wäre echt super nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte
>
> lg penguin
>
Beweise mit vollständiger Induktion:
Sei [mm] $x_n$ [/mm] die Folge von oben mit $a [mm] \in [/mm] (0,2)$. Wir wollen zeigen:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : a [mm] \in [/mm] (0,2) [mm] \Rightarrow x_n \in [/mm] (0,2)$.
Induktionsanfang: $n = 1$ :
Es ist bereits gegeben: [mm] $x_1 [/mm] = a [mm] \in [/mm] (0,2)$ .
Induktionsannahme: Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: [mm] $x_n \in [/mm] (0,2)$ .
Behauptung: [mm] $x_{n+1} \in [/mm] (0,2)$ .
Jetzt ausgehend von der Induktionsannahme kann man die Behauptung beweisen:
[mm] $x_n \in [/mm] (0,2) [mm] \gdw [/mm] 0 < [mm] x_n [/mm] < 2$ Addition von $a$ zur Ungleichung ergibt:
$0 < 0 + a < [mm] x_n [/mm] + a < 2 +a < 4$ , da $a [mm] \in [/mm] (0,2)$ . Jetzt Wurzel ziehen:
$0 < [mm] \underbrace{\wurzel{x_n + a}}_{=x_{n+1}} [/mm] < [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2$ .
Und damit ist die Aussage für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] bewiesen.
Gruss,
logarithmus
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