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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 07.05.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe 1 | Eine Hefezellenkolonie benoetigt in der k-ten Generation [mm] (k\in\IN) [/mm] eine Flaeche von [mm] t_{k}cm^{2}. [/mm] Das wachstum der Kolonie sei durch die Gleichung
[mm] t_{k+3}=\bruch{3}{2}t_{k+2}-\bruch{11}{16}t_{k+1}+\bruch{3}{32}t_{k}+1
[/mm]
gegeben.
a) Geben Sie eine Matrix [mm] A\in \IR^{3x3} [/mm] und einen Vektor [mm] b\in\IR^{3} [/mm] an, so dass fuer alle [mm] k\in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vektor{t_{k+3} \\ t_{k+2} \\ t_{k+1}}=A*\vektor{t_{k+2} \\ t_{k+1} \\ t_{k}}+b
[/mm]
Ist die Matrix A diagonalisierbar? Wenn ja, so geben sie eine Matrix S an, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalform hat. |
| Aufgabe 2 | b) Berechnen Sie den Flaechenbedarf [mm] t_{k} [/mm] fuer [mm] k\in\IN [/mm] falls [mm] t_{0}=t_{1}=t_{2}=0 [/mm] ist.
c) Gegen welchen Wert konvergiert die Folge [mm] t_{k} [/mm] (fuer k [mm] \to \infty)
[/mm]
(In Teil c) setzen wir nicht vorraus, dass [mm] t_{0}=t_{1}=t_{2}=0 [/mm] gilt.) |
Hi leute,
also den teil a) hab ich bereits erledigt. ich bin mir nicht sicher ob er fuer b) und c) hilft, aber ich poste einfach mal das ergebnis.
A= [mm] \pmat{ \bruch{3}{2} & \bruch{-11}{16} & \bruch{3}{32}\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] b=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
S= [mm] \pmat{ 1 & 9 & 1 \\ 2 & 12 & 4 \\ 4 & 16 & 16 }
[/mm]
Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1}=\bruch{1}{2}, \lambda_{2}=\bruch{1}{4}, \lambda_{3}=\bruch{3}{4}
[/mm]
zu b)
ich denke ich muss meine rekursive folge in eine "normale" umwandeln. aber das gelingt mir einfach nicht. haette ich eine folge, die nur noch [mm] t_{k} [/mm] enthaelt, koennte ich sicher einfach den limes gegen unendlich laufen lassen und das ergebnis muesste dann der flaechenbedarf sein.
Aber wie gesagt ich komme einfach nicht auf diese folge, waere toll wenn vielleicht jemand ne idee haette.
zu c) ist wuerde ich meinen analog zu b) also auch wieder "normale" folge angeben und limes berechnen.
hoffe es kann jemand weiterhelfen.
LG Jany :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jany!
> Eine Hefezellenkolonie benoetigt in der k-ten Generation
> [mm](k\in\IN)[/mm] eine Flaeche von [mm]t_{k}cm^{2}.[/mm] Das wachstum der
> Kolonie sei durch die Gleichung
>
> [mm]t_{k+3}=\bruch{3}{2}t_{k+2}-\bruch{11}{16}t_{k+1}+\bruch{3}{32}t_{k}+1[/mm]
> gegeben.
>
> a) Geben Sie eine Matrix [mm]A\in \IR^{3x3}[/mm] und einen Vektor
> [mm]b\in\IR^{3}[/mm] an, so dass fuer alle [mm]k\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\vektor{t_{k+3} \\ t_{k+2} \\ t_{k+1}}=A*\vektor{t_{k+2} \\ t_{k+1} \\ t_{k}}+b[/mm]
>
> Ist die Matrix A diagonalisierbar? Wenn ja, so geben sie
> eine Matrix S an, so dass [mm]S^{-1}AS[/mm] Diagonalform hat.
> b) Berechnen Sie den Flaechenbedarf [mm]t_{k}[/mm] fuer [mm]k\in\IN[/mm]
> falls [mm]t_{0}=t_{1}=t_{2}=0[/mm] ist.
>
> c) Gegen welchen Wert konvergiert die Folge [mm]t_{k}[/mm] (fuer k
> [mm]\to \infty)[/mm]
> (In Teil c) setzen wir nicht vorraus, dass
> [mm]t_{0}=t_{1}=t_{2}=0[/mm] gilt.)
> Hi leute,
>
> also den teil a) hab ich bereits erledigt. ich bin mir
> nicht sicher ob er fuer b) und c) hilft, aber ich poste
> einfach mal das ergebnis.
>
> A= [mm]\pmat{ \bruch{3}{2} & \bruch{-11}{16} & \bruch{3}{32}\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
>
> S= [mm]\pmat{ 1 & 9 & 1 \\ 2 & 12 & 4 \\ 4 & 16 & 16 }[/mm]
>
> Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1}=\bruch{1}{2}, \lambda_{2}=\bruch{1}{4}, \lambda_{3}=\bruch{3}{4}[/mm]
Ich habe das nicht nachgerechnet.
> zu b)
> ich denke ich muss meine rekursive folge in eine "normale"
> umwandeln.
Genau.
> aber das gelingt mir einfach nicht. haette ich
> eine folge, die nur noch [mm]t_{k}[/mm] enthaelt, koennte ich sicher
> einfach den limes gegen unendlich laufen lassen und das
> ergebnis muesste dann der flaechenbedarf sein.
Du sollst nicht den Grenzwert ausrechnen sondern den Bedarf zum Zeitpunkt $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
> zu c) ist wuerde ich meinen analog zu b) also auch wieder
> "normale" folge angeben und limes berechnen.
Allgemein: Wenn $x$ der Startvektor ist, dann ist der Vektor zum Zeitpunkt 1 gleich $A x + b$. Zum Zeitpunkt 2 gleich [mm] $A^2 [/mm] x + A b + b$. Zum Zeitpunkt 3 gleich [mm] $A^3 [/mm] x + [mm] A^2 [/mm] b + A b + b = [mm] A^3 [/mm] x + [mm] (A^2 [/mm] + A + E) b$.
Per Induktion kann man nun zeigen: Zum Zeitpunkt $n$ ist der Vektor [mm] $\vector{t_{n+2} \\ t_{n+1} \\ t_n} [/mm] = [mm] A^n [/mm] x + [mm] (A^{n+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] A^0) [/mm] b$. Bleibt natuerlich die Frage: Wie rechnet man das nun aus?
Dazu brauchst du die Diagonalisierbarkeit! Es ist [mm] $A^n [/mm] = S [mm] S^{-1} A^n [/mm] S [mm] S^{-1} [/mm] = S [mm] (S^{-1} [/mm] A S [mm] )^n S^{-1}$. [/mm] Und [mm] $(S^{-1} [/mm] A S [mm] )^n$ [/mm] kannst du leicht ausrechnen.
Damit solltest du nun b) und c) loesen koennen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo felix
danke sehr du hast mich wieder einmal auf die richtige faehrte gefuehrt. habe sogar in meinem vorlesungsskript auch etwas dazu gefunden, also wieder einmal ein riesig grosses dankeschoen :)
LG Jany :)
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