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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 02.07.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | Es sei, für alle n e N die rekursiv definierte Folge(dn) mit [mm] d_1 [/mm] = 1, [mm] d_{n+1} [/mm] = [mm] d_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{d_n} [/mm] gegeben.
a) Zeigen Sie mittels Induktion, dass für alle n e N gilt: [mm] d_n [/mm] > 1.
b) Zeigen Sie, dass die Folge dn monoton wachsend ist.
c) Zeigen Sie, dass die Folge (dn) nicht beschränkt ist. |
hallo
schon lange her diese induktion:/
also ich hab das problem das ich das bei rekursive folgen nicht ganz verstehe, ich kenne die induktion nur von identitäten, da ist es einfacher...
aber wie geh ich bei einer rekursiven folge ran?
paar tipps ?
danke
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Hallo rml_,
> Es sei, für alle n e N die rekursiv definierte Folge(dn)
> mit [mm]d_1[/mm] = 1, [mm]d_{n+1}[/mm] = [mm]d_n[/mm] + [mm]\bruch{1}{d_n}[/mm] gegeben.
> a) Zeigen Sie mittels Induktion, dass für alle n e N
> gilt: [mm]d_n[/mm] > 1.
> b) Zeigen Sie, dass die Folge dn monoton wachsend ist.
> c) Zeigen Sie, dass die Folge (dn) nicht beschränkt ist.
> hallo
>
> schon lange her diese induktion:/
> also ich hab das problem das ich das bei rekursive folgen
> nicht ganz verstehe, ich kenne die induktion nur von
> identitäten, da ist es einfacher...
> aber wie geh ich bei einer rekursiven folge ran?
> paar tipps ?
Nun, so ganz stimmt die Aussage ja nicht, es ist ja [mm] $d_1=1\not> [/mm] 1$
Für $n>1$ stimmt's aber:
Einzig spannend ist der Induktionsschritt:
IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gelte [mm] $d_n>1$
[/mm]
Dann ist [mm] $d_{n+1}=d_n+\frac{1}{d_n}$ [/mm] nach Def. Rekursion
$ [mm] >1+\frac{1}{d_n}$ [/mm] nach IV
Nun mache dir (am besten vorher) mal klar, dass [mm] $d_n>0$ [/mm] ist für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Damit auch [mm] $\frac{1}{d_n}>0$ [/mm] und schließlich [mm] $1+\frac{1}{d_n}>1+0=1$
[/mm]
> danke
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Fr 02.07.2010 | | Autor: | rml_ |
danke für die ausführliche erklärung, hilft mir wirklich weiter
rml_
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