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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Do 19.08.2010 | | Autor: | nikita |
Hallo! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Sei X topologischer Hausdorffraum. Dann gilt: [mm] A\subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] X, B kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] A ist relativ kompakt.
Ich habe es folgendermaßen gelöst: Was ich zeigen muss, ist die Kompaktheit von [mm] \overline{A}. [/mm] Sei also [mm] \bigcup_{i\in I}U_{i} [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] \overline{A}. [/mm] Dann ist [mm] (X\setminus \overline{A})\cup \bigcup_{i\in I}U_{i} [/mm] eine offene Überdeckung von B und da B kompakt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung. Da [mm] \overline{A}\subset [/mm] B existiert also auch eine endliche Teilüberdeckung von [mm] \overline{A}.
[/mm]
Das wäre meine Überlegung. Was mich aber verunsichert, ist die Tatsache, dass bei meiner Argumentation nirgendwo die Separiertheit von dem Raum X auftaucht. Wo liegt also mein Fehler?
Ein Tipp würde mich freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 19.08.2010 | | Autor: | max3000 |
Deine Argumentation ist eigentlich genau richtig.
So ähnlich habe ich den Beweis auch in meinem Hefter stehen und da haben wir auch nicht die Separiertheit explizit ausgenutzt.
Also irgendeinen Beweisschritt kannst du wahrscheinlich nicht so machen, wenn der Raum nicht separiert wäre. Seh aber leider auch grad nicht genau welcher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Do 19.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Sei X
> topologischer Hausdorffraum. Dann gilt: [mm]A\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm]
> X, B kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] A ist relativ kompakt.
>
> Ich habe es folgendermaßen gelöst: Was ich zeigen muss,
> ist die Kompaktheit von [mm]\overline{A}.[/mm] Sei also
> [mm]\bigcup_{i\in I}U_{i}[/mm] eine offene Überdeckung von
> [mm]\overline{A}.[/mm] Dann ist [mm](X\setminus \overline{A})\cup \bigcup_{i\in I}U_{i}[/mm]
> eine offene Überdeckung von B und da B kompakt ist,
> existiert eine endliche Teilüberdeckung. Da
> [mm]\overline{A}\subset[/mm] B existiert also auch eine endliche
> Teilüberdeckung von [mm]\overline{A}.[/mm]
> Das wäre meine Überlegung. Was mich aber verunsichert,
> ist die Tatsache, dass bei meiner Argumentation nirgendwo
> die Separiertheit von dem Raum X auftaucht
Doch, Du hast es nur nicht gemerkt !
> . Wo liegt also mein Fehler?
Nirgendwo. Du hast benutzt:
(*) $ [mm] \overline{A}\subset [/mm] B$
Aber warum gilt das ?
Wir haben: $ [mm] A\subset [/mm] $ B $ [mm] \subset [/mm] $ X, und B kompakt
Dann ist zunächst:
(**) [mm]\overline{A} \subset \overline{B} [/mm]
In separierten topologischen Räumen sind kompakte Mengen abgeschlossen ! (in allg. top. Räumen ist das i.a. nicht so)
Also:
[mm]B= \overline{B} [/mm].
Aus (**) folgt dann (*).
FRED
> Ein Tipp würde mich freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 19.08.2010 | | Autor: | nikita |
Danke! Das hatte ich übersehen :)
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