relative Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Für die Entscheidung welches relative Extrema bei einer Funktion mit zwei Variablen vorliegt untersucht man, ob [mm] f_{xx}(x_{0},y_{0}) [/mm] positiv oder negativ ist. Spielt dabei [mm] f_{yy}(x_{0},y_{0}) [/mm] keine Rolle? Warum? Oder kann man die Frage nach den relativen Extrema auch anhand von [mm] f_{yy}(x_{0},y_{0}) [/mm] entscheiden?
|
|
| |
|
> Für die Entscheidung welches relative Extrema bei einer
> Funktion mit zwei Variablen vorliegt untersucht man, ob
> [mm]f_{xx}(x_{0},y_{0})[/mm] positiv oder negativ ist. Spielt dabei
> [mm]f_{yy}(x_{0},y_{0})[/mm] keine Rolle? Warum? Oder kann man die
> Frage nach den relativen Extrema auch anhand von
> [mm]f_{yy}(x_{0},y_{0})[/mm] entscheiden?
Hallo Valkyrion,
die Untersuchung mittels [mm] f_{xx} [/mm] allein genügt natürlich nicht.
Schau z.B. einmal ![[]](/images/popup.gif) da nach !
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo, erst mal Danke für die Antwort.
Dass ich erst mal untersuchen muss ob überhaupt ein stationärer Punkt und dann ein relatives Extremum vorliegt ist klar; geht mir jetzt nur um die Entscheidung welches relative Extremum.
Ich beziehe mich jetzt mal auf Seite 1 unten (g''(0)=) und das Beispiel auf Seite 3:
Heißt dass dann, dass ich die Frage nach der Art des Extremas sowohl über die Vorzeichenbetrachtung von [mm] f_{xx} [/mm] als auch von [mm] f_{yy} [/mm] entscheiden kann?
Hintergrund ist, dass das Vorzeichen von [mm] g''(x_{0}) [/mm] vom ausgeklammerten Faktor entschieden wird (solange [mm] f_{xx}f_{yy} [/mm] - [mm] f^{2}_{xy}>0, [/mm] was ja aber Vorraussetzung für ein relatives Extremum ist); wenn man [mm] f_{xx} [/mm] ausklammert, ist das [mm] f_{xx}, [/mm] wenn man [mm] f_{yy} [/mm] ausklammert, dann ist das eben [mm] f_{yy}? [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube, jetzt deine eigentliche Frage verstanden zu haben.
Du beziehst sich auf den Text:
Ist an einer Stelle $\ [mm] (x_0,y_0)$
[/mm]
$\ [mm] f_x(x_0,y_0)=0$ [/mm] und $\ [mm] f_y(x_0,y_0)=0$
[/mm]
und besteht außerdem die Ungleichung
$\ [mm] f_{xx} (x_0,y) f_{yy} [/mm] (x,y) - [mm] f_{xy}^2(x_0,y_0)>0$ [/mm] (**)
so liegt an dieser Stelle ein Extremum vor, und zwar ein Maximum,
wenn $\ [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] < 0$, und ein Minimum, wenn $\ [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] > 0$ ist.
In diesem Text könnte man den letzten Teil auch durch folgenden
Halbsatz ersetzen:
.... und zwar ein Maximum,
wenn $\ [mm] f_{yy}(x_0,y_0) [/mm] < 0$, und ein Minimum, wenn $\ [mm] f_{yy}(x_0,y_0) [/mm] > 0$ ist.
Grund: wenn die Kriteriumsungleichung (**) erfüllt ist, so
sind [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] entweder beide positiv oder beide negativ.
Spielt dann also keine Rolle, ob man sich auf das Vorzeichen
von [mm] f_{xx} [/mm] oder auf das von [mm] f_{yy} [/mm] bezieht.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 02.09.2018 | | Autor: | Valkyrion |
Ok, danke,
ja das war die Frage.
Ich hatte nä,lich überall immer nur gefunden, dass man [mm] f_{xx} [/mm] überprüfen soll und mich dann gefragt, ob [mm] f_{yy} [/mm] bei dieser Detailfrage keine Rolle spielt.
|
|
|
|
