relative Lage (Gerade&Ebene) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 14.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die relative Lage (einschließlich Schnittpunkt und Schnittwinkel bzw. Abstand falls vorhanden) der EBene E und der Geraden g:
E: [mm] \vec{r}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
g: [mm] \vec{r}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+u*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Welche Gerade durch den Punkt P=(2/3/0) schneidet E senkrecht? |
Also der erste Aufgabenteil fiel mir wieder relativ leicht.
Zunächst habe ich den Schnittpunkt von Gerade und Ebene bestimmt:
links stehen die Variablen s, t, u
$ [mm] \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} \vline \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} [/mm] $
Z3+Z1:
$ [mm] \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{matrix} \vline \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} [/mm] $
Z3+3*Z2:
$ [mm] \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \vline \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} [/mm] $
u=1
t=1
s=1
Die Gerade schneidet die Ebene also im Punkt S mit
[mm] \vec{OS}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+\vektor{1 \\ -1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\vektor{2 \\ -1 \\ 1}=\vektor{4 \\ 1 \\ 2}, [/mm] also S=(4,1,2)
Um den Schnittwinkel zu berechnen, muss ich die EBene erst in die Normalenform bringen, richtig?
Also:
[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}X\vektor{2 \\ -1 \\ 1}=\vektor{0-1 \\ -2-1 \\ -1-0}=\vektor{-1 \\ -3 \\ -1}
[/mm]
E: [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ -1}*\vec{r}=\vektor{-1 \\ -3 \\ -1}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2} \gdw \vektor{-1 \\ -3 \\ -1}*\vec{r}=-9
[/mm]
[mm] \sphericalangle(g,E)=\arcsin\left(\bruch{\left|\vektor{1 \\ -1 \\ 1}*\vektor{-1 \\ -3 \\ -1}\right|}{\sqrt{3}*\sqrt{11}}\right)=\arcsin\left(\bruch{3}{\sqrt{33}}\right)
[/mm]
Hoffe das stimmt so und die Methode ist richtig.
Muss meinetwegen von den Zahlenwerten keiner nachprüfen, hauptsache die Methode stimmt.
Nur wie bestimme ich jetzt die Gerade durch den Punkt P=(2/3/0) geht und die Ebene E senkrecht schneidet?
Hilft mir da die Normalenform der Ebene irgendwie weiter?
Denn der Normalenvektor steht ja senkrecht auf dieser Ebene.
Hab bei sowas leider gar keinen Ansatz :(
Danke für die Hilfe.
Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Sa 14.03.2009 | | Autor: | weduwe |
der richtungsvektor der geraden steht senkrecht auf die beiden spannvektoren der ebene.
a) lgs mit dem skalarprodukt,
wobei du eine komponente des richtungsvektors wählen kannst.
b) meiner meinung nach schöner: bilde über das vektorprodukt einen normalenvektor der ebene,
dieser ist (ein) richtungsvektor der gesuchten geraden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 14.03.2009 | | Autor: | tedd |
> b) meiner meinung nach schöner: bilde über das
> vektorprodukt einen normalenvektor der ebene,
> dieser ist (ein) richtungsvektor der gesuchten geraden
Ich habe ja schon einen Normalenvektor der da wäre:
$ [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}X\vektor{2 \\ -1 \\ 1}=\vektor{0-1 \\ -2-1 \\ -1-0}=\vektor{-1 \\ -3 \\ -1} [/mm] $
Habe ich dann schon die Gerade die den Punkt P=(2/3/0) schneidet und senkrecht durch die Ebene geht?
[mm] \vec{r}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+v*\vektor{-1 \\ -3 \\ -1}
[/mm]
Sorry wenn ich hier etwas schwer vom Begriff bin - zur Linearen Algebra muss ich anscheinend noch viel viel üben...
Ich versetehe, dass ich über das Vektor- bzw. Kreuzprodukt einen Vektor bekomme der senkrecht auf diesen 2 steht. Aber wie kriege ich diesen jetzt dazu, dass der auch genau durch den bestimmten Punkt läuft?
Kann ich mir das so vorstellen, dass ich durch den Punkt P (Ortsvektor) den ort festgelegt habe von wo die Gerade aus "startet" und durch den Richtungsvektor bestimme ich dann einfach die Richtung in die diese Gerade geht?
Dann müsste die oben angegebene Geradengleichung ja stimmen...
Danke,
tedd
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Hallo tedd,
> > b) meiner meinung nach schöner: bilde über das
> > vektorprodukt einen normalenvektor der ebene,
> > dieser ist (ein) richtungsvektor der gesuchten geraden
>
> Ich habe ja schon einen Normalenvektor der da wäre:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}X\vektor{2 \\ -1 \\ 1}=\vektor{0-1 \\ -2-1 \\ -1-0}=\vektor{-1 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>
> Habe ich dann schon die Gerade die den Punkt P=(2/3/0)
> schneidet und senkrecht durch die Ebene geht?
>
> [mm]\vec{r}=\vektor{2 \\ 3 \\ 0}+v*\vektor{-1 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>
>
> Sorry wenn ich hier etwas schwer vom Begriff bin - zur
> Linearen Algebra muss ich anscheinend noch viel viel
> üben...
>
> Ich versetehe, dass ich über das Vektor- bzw. Kreuzprodukt
> einen Vektor bekomme der senkrecht auf diesen 2 steht. Aber
> wie kriege ich diesen jetzt dazu, dass der auch genau durch
> den bestimmten Punkt läuft?
>
> Kann ich mir das so vorstellen, dass ich durch den Punkt P
> (Ortsvektor) den ort festgelegt habe von wo die Gerade aus
> "startet" und durch den Richtungsvektor bestimme ich dann
> einfach die Richtung in die diese Gerade geht?
>
> Dann müsste die oben angegebene Geradengleichung ja
> stimmen...
Die angegebene Geradengleichung stimmt ja auch.
> Danke,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 14.03.2009 | | Autor: | tedd |
Danke für die Hilfe! 
Gruß,
tedd
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