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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Di 15.04.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Geben Sie den relativen Fehler bei der Brennweitenbestimung an. |
Also ich habe einen Versuch durchgeführt, bei der die Brennweite einer Linse mit folgender Formel durch 10 Einzelmessungen berechnet werden sollte.
Ich habe bereits einen Maximal- Minimal- und Mittelwert für die Brennweite ausgerechnet, nun soll ich den relativen Fehler bestimmen.
Der Tutor hat mir gesagt, dass ich dafür die Formel nach der einen Größe abgeleitet multipliziert mit der Messunsicherheit, mit der Formel nach der anderen Größe abgeleitet multipliziert mit der Messunsicherheit.
Das wäre dann der absolute Fehler womit ich den relativen Fehler bestimmen kann. Stimmt das so?
[mm]a_1'[/mm] und [mm]a_2'[/mm] sind mit einer Messunsicherheit von 0,5mm behaftet also
[mm]\Delta a_1'=0,5mm[/mm] und [mm]\Delta a_2'=0,5mm[/mm]
die Formel für die Brennweite lautet:
[mm]f'=\bruch{a_1'-a_2'}{b_2'-b_1'}[/mm]
[mm]\bruch{\delta f'}{\delta a_1'}=\bruch{1}{b_2'-b_1'}[/mm]
und
[mm]\bruch{\delta f'}{\delta a_2'}=\bruch{1}{b_2'-b_1'}[/mm]
Also gilt für den absoluten Fehler:
[mm]\Delta f'=\left| \bruch{1}{b_2'-b_1'} \right|*\Delta a_1'+\left| \bruch{1}{b_2'-b_1'} \right|*\Delta a_2'[/mm]
Wenn ich nun für die Bildweitendifferenz [mm]b_2'-b_1'[/mm] einen Mittelwert von 757mm habe,
wäre mein
[mm]\Delta f'=\left| \bruch{1}{757mm} \right|* 0,5\left| \bruch{1}{757mm} \right|*0,5=1,32*10^-3mm[/mm]?
mein Mittelwert für die Brennweite beträgt f'=48,32mm
Wäre der relative Fehler dann
[mm]\bruch{\Delta f'}{f'}=\bruch{1,32*10^-3mm}{48,32mm}=2,73*10^-5[/mm]?
Der relative Fehler wird doch auch in Prozent angegeben oder? Der absolute auch?
Irgendwie glaube ich nicht, dass der relative Fehler so klein sein kann.
Danke schonmal im vorraus für eine Antwort und beste Grüße,
tedd
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Hallo!
Eigentlich macht man sowas mit Gaußscher Fehlerfortpflanzung. Dabei werden diese einzelnen Summanden, die du da hast, zunächst noch quadriert, bevor sie addiert werden. Aus der gesamten Summe zieht man dann nochmal die Wurzel, alleine schon der Einheiten wegen:
[mm] \Delta f'=\wurzel{\left( \bruch{1}{b_2'-b_1'} \cdot{}\Delta a_1'\right)^2+\left( \bruch{1}{b_2'-b_1'} \cdot{}\Delta a_2'\right)^2+...}
[/mm]
Das macht man, weil es doch extrem selten ist, daß für zwei Parameter gleichzeitig ein großer fehler gemacht wird. Mit Gauss wird das berücksichtigt, und man bekommt einen realistischeren, kleineren fehler raus.
Ich habe aber auch schon gehört, daß man dein Verfahren benutzt, aber das ist mir eigentlich noch nie untergekommen.
Ansonsten ist dein Rechenweg korrekt, wenngleich, haben die b's denn keinen Fehler? Auch nach den b's mußt du ableiten, den Betrag bilden, mit dem Fehler multiplizieren, und diese beiden Terme noch zu den vorangegangenen hinzuaddieren. Du hast also letztendlich VIER Terme.
Du hast nun als den absoluten Fehler. Dieser hat eine Einheit und fällt größer aus, wenn die anderen Werte auch größer werden. Du kannst den absoluten Fehler benutzen, um z.B. herauszufinden, ob ein Literaturwert im Fehlerbereich deines Messwertes liegt.
Der relative Fehler dagegen gibt das Verhältnis von Fehler zu Messgröße wieder, da kürzen die Einheiten sich raus. Und: Wenn du das ganze in einem 10x größeren Experiment gemacht hättest, wäre der relative Fehler immernoch gleich groß.
Multiplizierst du ihn mit 100, bekommst du den prozentualen Fehler. Jedenfalls zeigt dir das, wie genau du gemessen hast. Wenn du 30% fehler hattest, warst du i.A. sehr schlampig, dann ist es egal, wenn der Literaturwert innerhalb des Fehlerbereichs liegt.
So, nun zu deinem Experiment.
Dein Fehler ist tatsächlich extrem klein.
Wie kommst du darauf, daß du die Größen mit 1/2mm Genauigkeit gemessen hast? Sicher, auf der mm-Skala eurer optischen Bank kannst du vielleicht so genau ablesen, aber woher weißt du, daß sich exakt an dieser Position die Linse, der Gegenstand und der Schirm befindet? Ich würde 3-5mm Fehler angeben, weil du eben nicht sagen kannst, daß z.B. der Schirm präzise oberhalb der Markierung auf dem Fuß sitzt. Und eure Formeln gelten nur für dünne Linsen, eure war sicher nicht ganz so dünn.
Was ich damit sagen will: Bei der Abschätzung eurer Fehler dürft ihr nicht nur davon ausgehen, wie genau ein Messwert abgelesen werden kann, sondern ihr müßt euch auch Gedanken machen, wie groß der Systematische Fehler in eurem Aufbau ist. Noch ein anderes Beispiel: Wenn ihr auf einem Digitalmultimeter die Spannung 10,0V ablest, ist der fehler nicht etwa 0,1V, sondern eher 0,3-0,4, weil das die interne Ungenauigkeit des Digitalmultimeters ist.
Darin liegt die wahre Kunst der Fehlerrechnung, und damit solltet ihr auch schnell Fehler im Prozent-Bereich bekommen. Und das ist es, was euer Tutor auch sehen will. (Also nicht den großen Fehler, sondern daß ihr die Fehler richtig abschätzt)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mi 16.04.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Event_Horizon,
Danke für die ausführliche Antwort, das ganze hat mir sehr weitergeholfen.
Habe nun auch noch nach den 2 anderen Größen abgeleitet.
Und für den Fehler habe ich wie von dir Vorgeschlagen 5mm angenommen.
Wenn man drüber nachdenkt wird klar, dass der Fehler nicht nur davon abhängt, wie genau man Werte ablesen kann.
Habe jetzt leider nicht nochmal extra meinen korrigierten Rechenweg geschrieben weil ich etwas im Stress bin...
Aber habe für mein jetziges [mm]\Delta f'=2,22mm[/mm]
Und dann für [mm]f'=48,32 \pm 4,59[/mm]prozent
Wie gesagt, die Antwort hat mir sehr weitergeholfen-echt top!
Beste Grüße,
tedd
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