relle Zahlen für x gesucht < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 So 10.10.2004 | | Autor: | Hankofer |
Hallo,
hab folgende Aufgaben und kann die nicht lösen.
1/x < 1/(x+1)
und
[mm] \wurzel{7x+15}-\wurzel{10-2x}=\wurzel{1+5x}
[/mm]
wie läuft da der Lösungsweg ab?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 So 10.10.2004 | | Autor: | Josef |
> Hallo,
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> hab folgende Aufgaben und kann die nicht lösen.
> [mm]\wurzel{7x+15}-\wurzel{10-2x}=\wurzel{1+5x}
[/mm]
>
> wie läuft da der Lösungsweg ab?
>
[mm]\wurzel{7x+15}-\wurzel{10-2x}[/mm] = [mm]\wurzel{1+5x}[/mm]
([mm]\wurzel{7x+15})^2[/mm]-2*[mm]\wurzel{7x+15}*\wurzel{10-2x}[/mm]+([mm]\wurzel{10-2x})^2[/mm] = [mm](\wurzel{1+5x})^2[/mm]
7x+15-2*[mm]\wurzel{(7x+15)(10-2x)}[/mm]+10-2x= 1+5x
-2*[mm]\wurzel{(7x+15)(10-2x)}[/mm] = -24
[mm]\wurzel{(7x+15)(10-2x)}[/mm] = 12
[mm]\wurzel{70x+150-14x^2-30x}[/mm] = 12
[mm] 70x+150-14x^2-30x [/mm] = 144
[mm] -14x^2+40x+6 [/mm] = 0
[mm] 14x^2-40x-6 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = 3
[mm] x_2 [/mm] = -[mm]\bruch{1}{7}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 So 10.10.2004 | | Autor: | Hankofer |
Hi
Danke Josef schon mal. Hab das jetzt gecheckt wenn noch jemand zur andern Aufgabe was schreibt bin ich wunschlos glücklich
MFG
Jürgen.> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 10.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hankofer
[mm] $\bruch{1}{x}<\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Das ist eine Ungleichung. Ungleichungen lassen sich ähnlich lösen wie Gleichungen. Es ist nur darauf zu achten dass, falls ich mit einer Zahl multipliziere, die kleiner als Null ist, sich das Vergleichszeichen umkehrt. Aus einem $<$ wird dann ein $>$, aus einem [mm] $\le$ [/mm] natürlich entsprechend ein [mm] $\ge$. [/mm] Selbstverständlich jeweils auch the other way round.
Wenn wir mit einer Zahl multiplizieren, von der wir gar nicht wissen, ob sie grösser oder kleiner als Null ist, dann kommen wir nicht um eine Fallunterscheidung herum!
Also mal frisch gewagt:
Ich will die Ungleichung zuerst mit $x$ multiplizieren, damit der Bruch links weg fällt. Da aber nicht bekannt ist, ob $x < 0$ oder $x> 0$ ist, mache ich eben die Fallunterscheidung:
Fall I: $x$ sei $> 0$
Fall II: $x$ sei $< 0$
Fall I:
Weil in diesem Fall $x>0$ vorausgesetzt wird, bleibt der Vergleichsoperator so wie er ist, es entsteht also nach dem Multiplizieren mit $x$:
[mm] $1<\bruch{x}{x+1}$
[/mm]
Jetzt mit $x+1$ multiplizieren. Weil wir immer noch im Fall I sind, weiss ich auch, dass $x+1>0$ sein muss. Somit:
$x+1<x$
$1<0$
Dies ist eine falsche Aussage, womit $x>0$ zu keiner Lösung führt.
Also weiter mit Fall II: $x<0$
[mm] $1>\bruch{x}{x+1}$
[/mm]
Jetzt will ich mit $x+1$ multiplizieren, stehe aber wieder am Scheidweg (Fallunterscheidung)
Fall IIa: $x+1>0$ resp $x>-1$
Fall IIb: $x+1<0$ resp $x<-1$
Fall IIa:
[mm] $1>\bruch{x}{x+1}$
[/mm]
$x+1>x$
$1>0$
Das ist offenbar eine wahre Aussage. Fall IIa führt schon mal zu einem ersten Intervall für $x$
Es ist ja $x<0$ und $x>-1$, also zusammengefasst:
$-1<x<0$
Es bleibt noch Fall IIb zu untersuchen ($x<0$ und $x<-1$):
[mm] $1>\bruch{x}{x+1}$
[/mm]
$x+1<x$
$1<0$
Das ist offensichtlich wieder eine falsche Aussage, so dass das Teilresultat von Fall IIa das einzige ist:
$-1<x<0$
Die Lösung ist also das offene Intervall von $-1$ bis $0$, wird manchmal auch so bezeichnet:
$x [mm] \in [/mm] (-1,0)$
Alles klar? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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