restglied mehrdim. taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=\sqrt{x^2+y^2}. [/mm] Es ist das Taylorpolynom erster Ordnung in (3,4) zu bestimmen und das Restglied für [mm] ||(x,y)-(3,4)||_2 [/mm] < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] abzuschätzen. |
Hi Matheraum.
Habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
Das Taylorpolynom ist kein Problem [mm] (5+\bruch{3\xi_1}{5}+\bruch{4\xi_2}{5}), [/mm] mit dem Restglied hab ich aber Probleme (ist im Mehrdimensionalen auch das erste Mal dass ich das probiere.)
Ich habe die Def [mm] \summe_{|\alpha|=k+1} \bruch{D^{\alpha}f}{\alpha!}(x+\vartheta \xi) \xi^{\alpha}.
[/mm]
Da habe ich erstmal eingesetzt:
[mm] R_2=\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}} [/mm] * [mm] (\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(x+\vartheta \xi_1)^2(y+\vartheta \xi_2)^2)\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)
[/mm]
Naja...und was mache ich da jetzt ? Wäre dankbar für Tipps.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kauabanga,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f(x)=\sqrt{x^2+y^2}.[/mm] Es ist das Taylorpolynom erster
> Ordnung in (3,4) zu bestimmen und das Restglied für
> [mm]||(x,y)-(3,4)||_2[/mm] < [mm]\bruch{1}{10}[/mm] abzuschätzen.
> Hi Matheraum.
>
> Habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
> Das Taylorpolynom ist kein Problem
> [mm](5+\bruch{3\xi_1}{5}+\bruch{4\xi_2}{5}),[/mm] mit dem Restglied
> hab ich aber Probleme (ist im Mehrdimensionalen auch das
> erste Mal dass ich das probiere.)
>
> Ich habe die Def [mm]\summe_{|\alpha|=k+1} \bruch{D^{\alpha}f}{\alpha!}(x+\vartheta \xi) \xi^{\alpha}.[/mm]
>
> Da habe ich erstmal eingesetzt:
>
> [mm]R_2=\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
> * [mm](\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(x+\vartheta \xi_1)^2(y+\vartheta \xi_2)^2)\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]
Das Restglied lautet doch so:
[mm]R_2=\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}
* (\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-\red{1}(x+\vartheta \xi_1)^{\red{1}}(y+\vartheta \xi_2)^{\red{1}}\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]
>
> Naja...und was mache ich da jetzt ? Wäre dankbar für
> Tipps.
Nun, die einzelnen Faktoren durch ihr Maximum abschätzen:
[mm]R_{2} \le \operatorname{max}\left\{\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}\right\}*\operatorname{max}\left\{\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-(x+\vartheta \xi_1)(y+\vartheta \xi_2)}\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2\right\}[/mm]
Für das weitere Vorgehen ist die Dreiecksungleichung ein unverzichtbares Hilfsmittel.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Erstmal Danke für die Antwort.
"Das Restglied lautet doch so:
[mm]R_2=\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}
* (\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-\red{1}(x+\vartheta \xi_1)^{\red{1}}(y+\vartheta \xi_2)^{\red{1}}\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]"
Die Einsen im Exponenten sehe ich ein, aber müsste der Faktor nicht eine 2 sein ? Der Term kommt doch von dxy und dyx und bei beiden ist [mm] \alpha [/mm] ! = 1!1! ?
"Für das weitere Vorgehen ist die Dreiecksungleichung ein unverzichtbares Hilfsmittel."
[mm] (x+\vartheta \xi_1)^2 [/mm] = [mm] (x-3+3+\vartheta \xi_1)^2
[/mm]
irgendwas in dieser art, um [mm] \sqrt{(x-3)^2}\le\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] zu nutzen ?
Sonst sehe ich leider nichts.
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Hallo kauabanga,
> Erstmal Danke für die Antwort.
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> "Das Restglied lautet doch so:
>
> [mm]R_2=\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}
* (\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-\red{1}(x+\vartheta \xi_1)^{\red{1}}(y+\vartheta \xi_2)^{\red{1}}\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]"
>
> Die Einsen im Exponenten sehe ich ein, aber müsste der
> Faktor nicht eine 2 sein ? Der Term kommt doch von dxy und
> dyx und bei beiden ist [mm]\alpha[/mm] ! = 1!1! ?
Ich glaube Du verwechselst das gerade mit
[mm]R_2=\bruch{1}{2*((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}
* ((y+\vartheta \xi_2)^2*\xi_1^2-2*(x+\vartheta \xi_1)(y+\vartheta \xi_2)*\xi_1 \xi_2+(x+\vartheta \xi_1)^2*\xi_2^2)[/mm]
Sonst empfehle ich Dir diese Koeffizienten selber herzuleiten.
Dabei ist wie folgt anzusetzen:
[mm]f\left(x,y\right)=\summe_{i=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}a_{ij}*\left(x-x_{0}\right)^{i}*\left(y-y_{0}\right)^{j}[/mm]
>
> "Für das weitere Vorgehen ist die Dreiecksungleichung ein
> unverzichtbares Hilfsmittel."
>
> [mm](x+\vartheta \xi_1)^2[/mm] = [mm](x-3+3+\vartheta \xi_1)^2[/mm]
>
> irgendwas in dieser art, um
> [mm]\sqrt{(x-3)^2}\le\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}[/mm] < [mm]\bruch{1}{10}[/mm] zu
> nutzen ?
Ich meine die Dreiecksungleichung in der Form
[mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> Sonst sehe ich leider nichts.
Nun, z.B. kannst Du den Faktor
[mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
abschätzen.
Bei dem 2. Faktor ist etwas mehr Arbeit nötig.
Gruß
MathePower
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> Ich meine die Dreiecksungleichung in der Form
>
> [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
Schon klar, aber das wird doch wieder mal auf eine Nulladition hinauslaufen ?
> Nun, z.B. kannst Du den Faktor
>
> [mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
>
> abschätzen.
>
> Bei dem 2. Faktor ist etwas mehr Arbeit nötig.
[mm] \bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}} \le \bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{1/2}} [/mm] < 10 ?
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Hallo kauabanga,
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> > Ich meine die Dreiecksungleichung in der Form
> >
> > [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
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> Schon klar, aber das wird doch wieder mal auf eine
> Nulladition hinauslaufen ?
>
>
> > Nun, z.B. kannst Du den Faktor
> >
> > [mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
>
> >
> > abschätzen.
> >
> > Bei dem 2. Faktor ist etwas mehr Arbeit nötig.
>
> [mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}} \le \bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{1/2}}[/mm]
> < 10 ?
Überlege Dir, wann der Faktor
[mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
am größten ist.
Der Faktor ist am größten, wenn der Nenner am kleinsten ist.
Der ist am kleinsten für ... .
Gruß
MathePower
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> Überlege Dir, wann der Faktor
>
> [mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
>
> am größten ist.
>
> Der Faktor ist am größten, wenn der Nenner am kleinsten
> ist.
>
> Der ist am kleinsten für ... .
[mm] ...\vartheta [/mm] = 0. Also [mm] \bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}} \le \bruch{1}{(x^2+y^2)^{3/2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5^3}.
[/mm]
Wenn das so richtig könnte ich das [mm] \vartheta [/mm] ja im zweiten Faktor = 1 setzen und habe schon mal eine Variable weniger zu verarbeiten ?
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Hallo kauabanga,
> > Überlege Dir, wann der Faktor
> >
> > [mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
>
> >
> > am größten ist.
> >
> > Der Faktor ist am größten, wenn der Nenner am kleinsten
> > ist.
> >
> > Der ist am kleinsten für ... .
>
> [mm]...\vartheta[/mm] = 0. Also [mm]\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}} \le \bruch{1}{(x^2+y^2)^{3/2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{5^3}.[/mm]
>
Die Abschötzung dieses Faktors ist korrekt.
> Wenn das so richtig könnte ich das [mm]\vartheta[/mm] ja im zweiten
> Faktor = 1 setzen und habe schon mal eine Variable weniger
> zu verarbeiten ?
Den zweiten Faktor schätzt Du unabhängig vom ersten Faktor ab.
Ausserdem läßt sich dieser zweiter Faktor als vollständiges Quadrat schreiben.
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mi 17.06.2009 | | Autor: | kauabanga |
Da haben wir wohl gleichzeitig geschrieben :D
Was hälst du von der version in dem beitrag von heute ?
Komme ich näher ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Mi 17.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]f(x)=\sqrt{x^2+y^2}.[/mm] Es ist das Taylorpolynom erster
> Ordnung in (3,4) zu bestimmen und das Restglied für
> [mm]||(x,y)-(3,4)||_2[/mm] < [mm]\bruch{1}{10}[/mm] abzuschätzen.
> Hi Matheraum.
>
> Habe ein Problem bei dieser Aufgabe.
> Das Taylorpolynom ist kein Problem
> [mm](5+\bruch{3\xi_1}{5}+\bruch{4\xi_2}{5}),[/mm] mit dem Restglied
> hab ich aber Probleme (ist im Mehrdimensionalen auch das
> erste Mal dass ich das probiere.)
>
> Ich habe die Def [mm]\summe_{|\alpha|=k+1} \bruch{D^{\alpha}f}{\alpha!}(x+\vartheta \xi) \xi^{\alpha}.[/mm]
>
> Da habe ich erstmal eingesetzt:
>
> [mm]R_2=\bruch{1}{((x+\vartheta \xi_1)^2 +(y+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
> * [mm](\bruch{(y+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(x+\vartheta \xi_1)^2(y+\vartheta \xi_2)^2)\xi_1 \xi_2+\bruch{(x+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]
Warum setzt du nicht auch $(x, y) = (3, 4)$ ein?
Und denk dran, dass es sich bei dem $(x, y)$ hier nicht um das $(x, y)$ aus der Aufgabenstellung handelt! Fuer das $(x, y)$ aus der Aufgabenstellung gilt $(x, y) - (3, 4) = [mm] (\zeta_1, \zeta_2)$.
[/mm]
LG Felix
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Erstmal Danke für eure Antworten !!!
[mm] R_2=\bruch{1}{((3+\vartheta \xi_1)^2 +(4+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}
[/mm]
* [mm] (\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2+\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)
[/mm]
So, habe jetzt nochmal angefangen:
Zuerst ist: [mm] |\xi_1|=+\sqrt{\xi_1^2} \le \sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] , [mm] \xi_2 [/mm] genauso.
Meine Abschätzungen sind jetzt:
Der erste Faktor ist maximal, wenn [mm] \vartheta=1 [/mm] und [mm] \xi_1=\xi_2=-\bruch{1}{10}, [/mm] also
[mm] \bruch{1}{((3+\vartheta \xi_1)^2 +(4+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}} [/mm]
< [mm] \bruch{1}{((3-\bruch{1}{10})^2 +(4-\bruch{1}{10})^2)^{3/2}} [/mm]
Der zweite Faktor:
[mm] (\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2+\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2) [/mm]
[mm] \le |\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2|+|2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2|+|\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2|
[/mm]
Das ist maximal, wenn [mm] \vartheta=1 [/mm] und [mm] \xi_1=\xi_2=\bruch{1}{10}:
[/mm]
[mm] |\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2|+|2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2|+|\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2| [/mm]
< [mm] |\bruch{(4+\bruch{1}{10})^2}{2}\bruch{1}{10}^2|+|2(3+\bruch{1}{10})(4+\bruch{1}{10}))\bruch{1}{10}\bruch{1}{10}|+|\bruch{(3+\bruch{1}{10})^2}{2}\bruch{1}{10}^2|
[/mm]
Beides kann man ja jetzt ausrechnen.
Ist das so in Ordnung oder bin ich wieder falsch ?
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Hallo kauabanga,
> Erstmal Danke für eure Antworten !!!
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> [mm]R_2=\bruch{1}{((3+\vartheta \xi_1)^2 +(4+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
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> * [mm](\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2+\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]
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> So, habe jetzt nochmal angefangen:
>
> Zuerst ist: [mm]|\xi_1|=+\sqrt{\xi_1^2} \le \sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{10}[/mm] , [mm]\xi_2[/mm] genauso.
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> Meine Abschätzungen sind jetzt:
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> Der erste Faktor ist maximal, wenn [mm]\vartheta=1[/mm] und
> [mm]\xi_1=\xi_2=-\bruch{1}{10},[/mm] also
>
> [mm]\bruch{1}{((3+\vartheta \xi_1)^2 +(4+\vartheta \xi_2)^2)^{3/2}}[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{((3-\bruch{1}{10})^2 +(4-\bruch{1}{10})^2)^{3/2}}[/mm]
Ok, für das [mm]\vartheta[/mm] hast Du recht.
Wenn Du schon [mm]\xi_{1}=\xi_{2}[/mm] setzt, dann müssen die auch
die Bedingung [mm]\wurzel{\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}} \le \bruch{1}{10}[/mm] erfüllen.
>
> Der zweite Faktor:
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> [mm](\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2-2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2+\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2)[/mm]
> [mm]\le |\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2|+|2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2|+|\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2|[/mm]
>
> Das ist maximal, wenn [mm]\vartheta=1[/mm] und
> [mm]\xi_1=\xi_2=\bruch{1}{10}:[/mm]
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> [mm]|\bruch{(4+\vartheta \xi_2)^2}{2}\xi_1^2|+|2(3+\vartheta \xi_1)(4+\vartheta \xi_2))\xi_1 \xi_2|+|\bruch{(3+\vartheta \xi_1)^2}{2}\xi_2^2|[/mm]
> <
> [mm]|\bruch{(4+\bruch{1}{10})^2}{2}\bruch{1}{10}^2|+|2(3+\bruch{1}{10})(4+\bruch{1}{10}))\bruch{1}{10}\bruch{1}{10}|+|\bruch{(3+\bruch{1}{10})^2}{2}\bruch{1}{10}^2|[/mm]
Auch hier müssen [mm]\xi_{1}, \xi_{2}[/mm] die Bedingung [mm]\wurzel{\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}} \le \bruch{1}{10}[/mm]
erfüllen.
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> Beides kann man ja jetzt ausrechnen.
>
> Ist das so in Ordnung oder bin ich wieder falsch ?
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Das ist bis auf die Parameter [mm]\xi_{1}, \ \xi_{2}[/mm] in Ordnung.
Gruß
MathePower
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