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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich schreib mal meine Entscheidungen auf. Ich weiß nicht inwiefern das so stimmt, deshalb stelle ich sie mal hier rein.
(a) Hätte ich falsch gesagt, da [mm] C^3 [/mm] da die Dimension 6 hat. Und daher könnte beim Schnitt der beiden Unterräume auch 1 oder 0 heraus kommen.
(b) Wahr.
(c) Weiß ich nicht. Aber hätte ich eigentlich falsch gesagt. Zum Beispiel könnte die Familie M ja (1,0,0),(0,1,0) und (1,1,0) sein. Und die echte Teilfamilie dann (1,0,0) und (0,1,0). Dann wäre die Teilfamilie zwar unabhängig, aber M nicht. Oder habe ich da mit den Begriffen was falsch verstanden?
(d) Nein. Im [mm] R^2 [/mm] wären das ja dann 3 Vektoren, wenn [mm] v_0,v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] nimmt. In der Familie und das kann ja eigentlich nicht unabhängig sein. Oder wie fasst man das mit dem [mm] v_0 [/mm] auf?
(e) Eigentlich wär das ja falsch. [mm] R^2 [/mm] hat ja 2 Dimensionen, was ja endlichdimensional ist. Und dennoch hat es unendlich viele Elemente.
(f) F(V)=V wäre ja die Identität. Und die hätte als Kern ja nur 0. Also wäre die Aussage ja eigentlich, dass im Kern nur ein Element ist.
(g) Richtig.
(h) Falsch.
(i) Weiß ich nicht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Do 02.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich schreib mal meine Entscheidungen auf. Ich weiß nicht
> inwiefern das so stimmt, deshalb stelle ich sie mal hier
> rein.
>
> (a) Hätte ich falsch gesagt, da [mm]C^3[/mm] da die Dimension 6 hat.
> Und daher könnte beim Schnitt der beiden Unterräume auch 1
> oder 0 heraus kommen.
also die Antwort falsch ist bei (a) richtig, die Begründung, vll. auch aufgrund der Fragestellung, schwammig. Als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] hätte [mm] $\IC^3$ [/mm] die Dimension [mm] $3\,,$ [/mm] als [mm] $\IR\,$-Vektorraum [/mm] hätte [mm] $\IC^3$ [/mm] die Dimension [mm] $6\,.$ [/mm] (Und überlege Dir mal, welche Dimension [mm] $\IC^3$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IQ$ [/mm] hätte!)
Das ganze ist aber nicht schwer zu überlegen:
Wenn Du [mm] $\IC^3$ [/mm] als [mm] $\IC$-VR [/mm] betrachtest und [mm] $V_1,\;V_2$ [/mm] Unterräume mit Dimension [mm] $2\,$ [/mm] sind, so liefert die Dimensionsformel
$$2 [mm] \le \dim(V_1+V_2)=\dim(V_1)+\dim(V_2)-\dim(V_1 \cap V_2)=2+2-\dim(V_1 \cap V_2) \le \dim(\IC^3)=3\,,$$
[/mm]
also
$$1 [mm] \le \dim(V_1 \cap V_2) \le 2\,.$$
[/mm]
Jetzt solltest Du Dir überlegen, wie man [mm] $V_1,\;V_2$ [/mm] so als Unterräume von [mm] $\IC^3$ [/mm] so angeben kann, dass deren Schnitt gerade ein eindimensionaler Unterraum ist. Im Prinzip geht das analog zum [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] da kann man zweidimensionale Unterräume als Ursprungsebenen 'visualisieren'. Entweder sind diese gleich, oder sie schneiden sich in einer Ursprungsgerade.
Also das ganze hier brauchst Du nur, wenn Du eine saubere Begründung willst.
Und auch, wenn man, wie Du, [mm] $\IC^3$ [/mm] als [mm] $\IR$-VR [/mm] auffasst, ist die Aussage (a) als falsch zu bewerten. Die Begründung geht dann aber schneller:
[mm] $V_1$ [/mm] sei ein zweidimensionaler Unterraum, hat also auch eine Basis bestehend als zwei linear unabhängigen Vektoren. [mm] $\IC^3$ [/mm] als [mm] $\IR$-VR [/mm] hat Dimension 6. Nach dem Basisergänzungssatz kann man 4 Vektoren aus [mm] $\IC^3$ [/mm] zu der obigen Basis von [mm] $V_1$ [/mm] finden, so dass das System dieser 6 Vektoren linear unabhängig ist. Wir wählen nun einfach zwei solche Vektoren und bilden den Span davon, diesen Unterraum nennen wir dann [mm] $V_2$ [/mm] und der hat nach Konstruktion auch Dimension [mm] $2\,.$ [/mm] Per Konstruktion ist dann aber [mm] $V_1 \cap V_2$ [/mm] der Nullraum, der nicht die Dimension 2 hat.
> (b) Wahr.
Puh, dann überlegen wir mal:
Sei [mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k=0\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $F(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k)=\blue{F(0)=0}$, [/mm] da [mm] $F\,$ [/mm] linear. Weiter folgt aus der Linearität von [mm] $F\,,$ [/mm] dass
[mm] $$F(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k)=\sum_{k=1}^n \lambda_k F(v_k)\,,$$
[/mm]
also erhalten wir auch, dass nun
[mm] $$\sum_{k=1}^n \lambda_k F(v_k)=0$$
[/mm]
gelten muss. Nach Voraussetzung müssen dann alle [mm] $\lambda_k=0$ [/mm] sein. Also ja: Deine Antwort ist korrekt.
> (c) Weiß ich nicht. Aber hätte ich eigentlich falsch
> gesagt. Zum Beispiel könnte die Familie M ja
> (1,0,0),(0,1,0) und (1,1,0) sein. Und die echte Teilfamilie
> dann (1,0,0) und (0,1,0).
Das wäre nur eine Teilfamilie. Ich schreibe Dir mal alle echten Teilfamilien, die man aus der Familie [mm] $\big((1,0,0),\;(0,1,0),\;(1,1,0)\big)$ [/mm] bilden kann, hin:
[mm] $\bullet$ $\big((1,0,0)\big)$ [/mm] (diese Familie ist lin. unabhg.)
[mm] $\bullet$ $\big((0,1,0)\big)$ [/mm] (diese Familie ist lin. unabhg.)
[mm] $\bullet$ $\big((1,1,0)\big)$ [/mm] (diese Familie ist lin. unabhg.)
[mm] $\bullet$ $\big((1,0,0),\;(0,1,0)\big)$ [/mm] (diese Familie ist lin. unabhg.)
[mm] $\bullet$ $\big((1,0,0),\;(1,1,0)\big)$ [/mm] (diese Familie ist lin. unabhg.)
[mm] $\bullet$ $\big((0,1,0),\;(1,1,0)\big)$ [/mm] (diese Familie ist lin. unabhg.)
Dein Beispiel war also schon gut gewählt, aber Deine Begründung zu knapp. Erst jetzt siehst Du, dass hier jede echte Teilfamilie linear unabhängig ist, aber die Familie [mm] $\big((1,0,0),\;(0,1,0),\;(1,1,0)\big)$ [/mm] ist linear abhängig.
> Dann wäre die Teilfamilie zwar
> unabhängig, aber M nicht. Oder habe ich da mit den
> Begriffen was falsch verstanden?
Naja, bis auf den obigen Patzer (man muss sich schon überlegen, dass bei Deinem Beispiel jede echte Teilfamilie linear unabhängig ist; es reicht nicht, die lineare Unabhängigkeit nur für eine echte Teilfamilie nachzuprüfen!) hast Du nichts falsch verstanden. Zwar folgt, wenn die Familie [mm] $M\,$ [/mm] linear unabhängig ist, dass auch jede echte Teilfamilie linear unabhängig ist, aber die Umkehrung ist falsch. Das Beispiel ist aber noch 'vereinfachbar':
Betrachte einfach z.B. die Familie [mm] $\big((1,0,0),\;(1,0,0)\big)$, [/mm] d.h. bestehend aus den zwei identischen Vektoren [mm] $(1,0,0)\,.$ [/mm] Diese Familie ist (sowas von offensichtlich) linear abhängig, aber jede echte Teilfamilie besteht nur aus dem Vektor [mm] $(1,0,0)\not=(0,0,0)\,,$ [/mm] d.h. hier ist jede echte Teilfamilie einfach nur die Familie [mm] $\big((1,0,0)\big)\,,$ [/mm] welche linear unabhängig ist.
Also Deine Antwort falsch ist auch bei (c) die richtige.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Do 02.04.2009 | | Autor: | Rino |
Zu d): genau...du hast stehts $n+1$ Vektoren, [mm] $\IR^n$ [/mm] ist $n$-dimensional, folglich sind die Vektoren linear-abhängig, also ist d) falsch
Zu e): Zu deinem Gegenbeispiel: [mm] $\IR$ [/mm] ist kein endlicher Körper!
Sei $K$ endlicher Körper, d.h. [mm] $|K|=m\in\IN$. [/mm] Sei weiter $V$ $K$-Vektorraum mit $dim [mm] V=n\in\IN$. [/mm] Sei [mm] $\lbrace b_1,\dots,b_n\rbrace\subset [/mm] V$ Basis von $V$. Für jedes [mm] $v\in [/mm] V$ existieren dann [mm] $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in [/mm] K$ mit [mm] $v=\sum_{i=1}^n\lambda_i b_i$. [/mm] Für jedes [mm] $\lambda_i$ [/mm] gibt es $m$ verschiedene Möglichkeiten (da $|K|=m$). Das heißt es gibt [mm] $m^n$ [/mm] verschiedene Linearkombinationen und folglich [mm] $|V|\le m^n\in \IN$. [/mm] e) ist also richtig
Zu f) $F(V)=V$ heißt nicht dass $F$ die Identität ist! Es gilt "nur", dass [mm] $\forall v\in [/mm] V: [mm] f(v)\in [/mm] V$ (nicht $f(v)=v$), sowie [mm] $\forall v\in [/mm] V [mm] \exists w\in [/mm] V: f(w)=v$.
Die Identiät (wie auch jeder andere Isomorphismus von $V$ nach $V$) ist allerdings ein Gegenbeispiel für die Aussage, da bei einem Isomorphismus aufgrund der Injektivität schon gilt $dim~ker F=0$. Das heißt f) ist falsch
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> (f) F(V)=V wäre ja die Identität.
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Es ist damit nur gesagt, daß V wieder auf sich selbst abgebildet wird.
Das heißt aber nicht, daß jedes [mm] v\in [/mm] V auf sich selbst abgebildet wird.
Vor diesem Hintergrund mußt Du Deine Entscheidung treffen.
Gruß v. Angela
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Danke an alle, das hat mich schon mal weitergebracht.
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> (g) Richtig.
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> (h) Falsch.
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> (i) Weiß ich nicht.
>
Hallo,
vielleicht erklärst Du hier auch noch Deinen Gedankengang.
Gruß v. Angela
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(g) Bin ich mir nicht sicher, aber wenn es so einen Vektorraum geben würde, dann müsste die Anzahl der Eigenwerte ja immer gleich n sein. Wobei hier ja bei dem charakteristischen Polynom ja immer so viele Nullstellen wären, wie auch der Rang des Polynoms ist. Also eigentlich könnte es sowas in C schon geben.
(h) Müsste eigentlich falsch sein, da das charakteristische Polynom ja dann immer den Rang 3 hätte und da müssten ja immer Nullstellen vorhanden sein.
(i) Wenn man hier die Nullabbildung nimmt im [mm] R^3 [/mm] zum Beispiel, dann hätte man ja eigentlich ein Gegenbeispiel. Jede Zeile ist frei wählbar und damit hätte man ja eine Summe von 3 Dimensionen bei den Eigenräumen, was auch dem [mm] R^3 [/mm] entspricht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Fr 03.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> (g) Bin ich mir nicht sicher, aber wenn es so einen
> Vektorraum geben würde, dann müsste die Anzahl der
> Eigenwerte ja immer gleich n sein. Wobei hier ja bei dem
> charakteristischen Polynom ja immer so viele Nullstellen
> wären, wie auch der Rang des Polynoms ist. Also eigentlich
> könnte es sowas in C schon geben.
>
Nimm mal V = [mm] \IC [/mm] (als Vektorraum über [mm] \IC)
[/mm]
> (h) Müsste eigentlich falsch sein, da das charakteristische
> Polynom ja dann immer den Rang 3 hätte und da müssten ja
> immer Nullstellen vorhanden sein.
Richtig. Ein reelles Polynom vom Grad 3 hat immer eine reelle Nullstelle. Ist Dir klar, warum das so ist ?
>
> (i) Wenn man hier die Nullabbildung nimmt im [mm]R^3[/mm] zum
> Beispiel, dann hätte man ja eigentlich ein Gegenbeispiel.
> Jede Zeile ist frei wählbar und damit hätte man ja eine
> Summe von 3 Dimensionen bei den Eigenräumen, was auch dem
> [mm]R^3[/mm] entspricht.
Richtig
FRED
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(g) In C als Vektorraum wäre die Anzahl der Nullstellen gleich der Rang. Meinst du das?
(h) Durch Polynomdivision kann man das ja in Linearfaktoren zerlegen. Und dann wäre ja ein Faktor vom Rang 1 und hätte auf jeden Fall schon eine Nullstelle. Also kann man alleine damit schon das ganze Produkt auf 0 bringen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Sa 04.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> (g) In C als Vektorraum wäre die Anzahl der Nullstellen
> gleich der Rang. Meinst du das?
Das weiß ich nicht,denn ich weiß nicht was Du meinst.
Ein Endomorhismus von [mm] \IC [/mm] hat die Gestalt
[mm] \Phi(x) [/mm] = ax mit a [mm] \in \IC
[/mm]
Ist [mm] \Phi [/mm] diagonalisierbar ?
>
> (h) Durch Polynomdivision kann man das ja in Linearfaktoren
> zerlegen. Und dann wäre ja ein Faktor vom Rang 1 und hätte
> auf jeden Fall schon eine Nullstelle. Also kann man alleine
> damit schon das ganze Produkt auf 0 bringen.
mann oh mann.
Sei $p(x) = [mm] x^3+ax^2+bx+c$ [/mm] ein Polynom vom Grad 3
Dann
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}p(x) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty}p(x) [/mm] =- [mm] \infty [/mm] $
nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gibt es ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] p(x_0) [/mm] = 0
FRED
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