richtungsableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
ich hätte ne frage zu folgendem beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] f(x,y)=(50*x*y)/(x^2+y^2)
[/mm]
da habe ich mir mal ausgerechnet:
[mm] f(x)=(-50*y*(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2
[/mm]
und
[mm] f(y)=(50*x*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2
[/mm]
der stärkste anstig ist ja in richtung des gradienten oder?
also [mm] \delta_v=grad(f(x,y)) [/mm]
das wäre dann:
grad [mm] f(x,y)=\vektor{((-50*y*(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2 \\ (50*x*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2}
[/mm]
mit dem punkt [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] würde das dann [mm] 1/169*\vektor{-500 \\ 750} [/mm] ergeben für die richtung mit dem stärksten temperaturanstieg?? nur wie is das mit der richtung wo sich die temperatur zunächst nicht ändert?
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> mit dem punkt [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm] würde das dann
> [mm]1/169*\vektor{-500 \\ 750}[/mm] ergeben für die richtung mit dem
> stärksten temperaturanstieg?? nur wie is das mit der
> richtung wo sich die temperatur zunächst nicht ändert?
Hallo,
nachgerechnet habe ich nicht, was Du gerechnet hast.
Es ist richtig, daß die Gradient in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt, hier ist also grad f(3,2) gefordert, welchen Du ja auch berechnest hast.
Wenn Du wissen willst, in welche Richtung sich die Temperatur nicht ändert, stelle die Richungsableitung im Punkt (3,2) auf und schau, in welche Richtung sie =0 wird, also
0=grad f(3,2)*(x,y) mit [mm] x^2+y^2=\red{1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
von den ableitungen habe ich ja:
[mm] f(x)=(-50\cdot{}y\cdot{}(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2 [/mm] und
[mm] f(y)=(50\cdot{}x\cdot{}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 [/mm]
und wenn ich da [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] einsetze erhalte ich ja:
f(x)=-500/169 und f(y)=750/169
muss ich das jetzt mit [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] multiplizieren und null setzen? das mir nicht ganz klar mit dem [mm] x^2+y^2=0
[/mm]
danke!
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> hallo!
>
> von den ableitungen habe ich ja:
>
> [mm]f(x)=(-50\cdot{}y\cdot{}(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2[/mm] und
>
> [mm]f(y)=(50\cdot{}x\cdot{}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2[/mm]
>
> und wenn ich da [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm] einsetze erhalte ich ja:
>
> f(x)=-500/169 und f(y)=750/169
>
> muss ich das jetzt mit [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] multiplizieren und
> null setzen?
Ja.
> das mir nicht ganz klar mit dem [mm]x^2+y^2=0[/mm]
Das ist schon die Normierung des Richtungsvektors, und es muß [mm] x^2+y^2=1 [/mm] heißen.
Du kannst's auch erstmal weglassen, eine Lösung v. gradf(3,2)*(x,y)=0 ausrechnen und anschließend normieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
also habe ich:
[mm] \vektor{-500/169 \\ 750/169}*\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
also -500/169*x=0 und
750/169*y=0
nur wie komme ich da jetzt auf die lösung? oder muss ich das über [mm] x^2+y^2=0 [/mm] machen?
danke!
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> hallo!
>
> also habe ich:
>
> [mm]\vektor{-500/169 \\ 750/169}*\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
Hallo,
das ist "grottenfalsch".
Wir haben hier ein Skalarprodukt, also keinen Vektor, sondern eine Zahl als Ergebnis.
[mm] 0=\vektor{-500/169 \\ 750/169}*\vektor{x \\ y}=-500/169x+750/169y [/mm] ist zu lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo
aso, nur da brauche ich ja noch eine gleichung das ich das lösen kann, muss ich das über [mm] x^2+y^2=0 [/mm] lösen?
sonst wirds ja nur null wenn x=750/169 und y=500/169 ist oder?
danke
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> sonst wirds ja nur null wenn x=750/169 und y=500/169 ist
> oder?
Hallo,
nein, die von Dir angebene Lösung [mm] \vektor{750/169 \\ 500/169} [/mm] ist nur eine der möglichen Lösungen.
Jedes Vielfaches dieses Vektors (z.B. 169/250 [mm] \vektor{750/169 \\ 500/169}= \vektor{3 \\ 2}) [/mm] löst die Gleichung auch. Du müßtest das eigentlich im Zusammenhang mit der Lösbarkeit von homogenen LGS gelernt haben - man vergißt so etwas manchmal, wenn "Analysis" auf der Packung steht.
Mein [mm] x^2 [/mm] --- ogottogott!!! Asche auf mein Haupt!!! Ich habe den totalen Blödsinn geschreiben:
ich meinte natürlich die ganze Zeit: [mm] x^2+y^2=1, [/mm] also einen normierten Richtungsvektor. Vergiß es einfach und normiere
[mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] oder [mm] \vektor{750/169 \\ 500/169}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 26.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
das heisst das sich in der richtung:
[mm] 1/(\wurzel{(750/169)^2+(500/169)^2})*\vektor{750/169 \\ 500/169}
[/mm]
die temperatur nicht ändert oder?
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> hallo!
>
> das heisst das sich in der richtung:
>
> [mm]1/(\wurzel{(750/169)^2+(500/169)^2})*\vektor{750/169 \\ 500/169}[/mm]
>
> die temperatur nicht ändert oder?
Ja.
Allerdings finde ich die Angabe
[mm] ...=\bruch{1}{5}*\vektor{3 \\ 2} [/mm] entschieden handlicher.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wie kommst du da auf 1/5? ich komme auf: [mm] 1/\wurzel{13}*\vektor{3 \\ 2}
[/mm]
und warum muss man da den vektor überhaupt normieren?
danke!
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> hallo!
>
> wie kommst du da auf 1/5?
Hallo,
ich hab' in dem Bemühen, die allerglattesten Lösungen zu erhälten, mit [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] gerechnet...
> ich komme auf:
> [mm]1/\wurzel{13}*\vektor{3 \\ 2}[/mm]
Ja, das ist richtig.
> und warum muss man da den vektor überhaupt normieren?
Ich weiß nicht genau, ob es hier unbedingt gefordert ist.
Ich habe das gemacht, weil in der Richtungsableitung auch immer der normierte Vektor verwendet werden muß.
Das spielte aktuell keine Rolle, weil wir ja die Richtung suchten, in der die Ableitung =0 ist.
Wenn ich mich aber für die Richung v interessiere, in welcher die Ableitung =1 ist, ist es wichtig, daß
1=grad f(x,y) *v mit |v|=1.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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