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| Aufgabe | 1a)durch drehung des parabelbogens mit der gleichung [mm] y=\wurzel{x} [/mm] um die x-achse entsteht ein rotationsparaboloid.
zeige: das volumen eines durch einen kreis vom radius r abgeschlossenen rotationsparaboloids ist halb so groß wie das volumen des ihm umschriebenen zylinders.
1b)durch rotation der halbellipse mit der gleichung
[mm] y=\bruch{1}{2}\wurzel{16-x^2}
[/mm]
um die x-achse entsteht ein rotationsellipsoid. berechne sein volumen! |
zu 1a) ich versteh nicht ganz, wofür dieses rotationsparaboloid am anfang der aufgabe da ist! ich kann mir das gebilde einfach schon mal gar nicht vorstellen! wo soll denn da der kreis sein?
das volumen des rotationsparaboloids mit der gleichung [mm] y=\wurzel{x} [/mm] ist doch [mm] V=\pi*\bruch{h^2}{2}, [/mm] oder? aber was hilft mir das weiter? wie muss ich rechnen?
zu 1b)
ich hab versucht, das durch die formel
V= [mm] \pi*\integral_{0}^{h}{[f(x)]^2 dx}
[/mm]
auszurechnen, also:
[mm] V=\pi*\integral_{0}^{h}{[\bruch{1}{2}\wurzel{16-x^2}]^2 dx}
[/mm]
dann kommt bei mir aber raus:
[mm] \pi*(4h-\bruch{h^3}{12}
[/mm]
ergebnis müsste aber sein:
[mm] \pi*\bruch{64}{3}
[/mm]
wie kommt man denn auf dieses ergebnis?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 08.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mickeymouse!
Du hast bei Aufgabe 1b.) "vergessen", die richtigen Integrationsgrenzen einzusetzen.
Die genannte Funktion ist je lediglich im Intervall [mm] $\left[ \ -4 \ ; \ +4 \ \right]$ [/mm] definiert. Also musst Du auch das Integral für das Rotationsvolumen entsprechend ansetzen:
[mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{-4}^{+4}{[f(x)]^2 \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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@loddar: vielen dank!! jetzt hab ichs richtig! ich hab vollkommen vergessen, die richtigen grenzen zu ermitteln...also danke!
aber wie funktioniert das mit der ersten aufgabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 08.02.2007 | | Autor: | riwe |
zunächst ein bild, s. unten. und wie bei b) mußt du auch hier die integrationsgrenzen bestimmen,
wenn du ans ziel kommen willst!
aus dem radius [mm]y = r[/mm] folgt aus [mm]y=\sqrt{x}[/mm] [mm]x=r²[/mm]
du mußt also von 0 bis r² integrieren. und entsprechend ist auch im zylinder [mm]h=r²[/mm].
daraus folgt die behauptung
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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vielen dank!! durch das bild ist es mir endlich klar geworden!
dankeschön:)
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