rotierende körper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | M = 2* [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{ \wurzel{1+(f'(x))²}}{f(x) dx} [/mm] |
hallo an alle,
das ist die formel für die berechnung der oberfläche rotierender körper. hm hat eine ne herleitung für mich?
ich verstehe sie nämlich nich so richtig
danke
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Hallo!!!
Also du machst dir eine Skizze mit einer allg. Funktion f(x)!!
Du malst dir ein kleines wegstück ds ein das natürlich auf der Linie ist!!
[mm] ds=\wurzel{\Delta x²+\Delta y²} [/mm] so wenn du dir kleine Rechtecke einzeichnest, wobei diese bei der rotation zu Zylinder werden,deren mantel
M= [mm] ds*2*\Pi [/mm] *f(x) ds...Höhe f(x) Radius
=> M= [mm] 2*\Pi *\integral_{a}^{b}{f(x)*ds} [/mm]
= [mm] 2*\Pi *\integral_{a}^{b}{f(x)*\wurzel{\Delta x²+\Delta y²}}=
[/mm]
= wenn du [mm] \Delta [/mm] x² unter der Wurzel heraushebst und [mm] \Delta [/mm] x --> 0 =>
=> [mm] 2*\Pi *\integral_{a}^{b}{f(x)*\wurzel{1+f'(x)²}*dx}=M
[/mm]
Ich habe noch verwendet,dass [mm] \Delta [/mm] y / [mm] \Delta [/mm] x für x-->0 = f'(x) ist!!!
Alles klar???
Fazit: Du Summierst über den mantel von kleinen Elementarzylinder auf!!!!
MFG Daniel
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hm ne. ich verstehe das hier nicht : t $ [mm] ds=\wurzel{\Delta x²+\Delta y²} [/mm] $ sonst klingt alles hm etwas anspruchsvoll. hm, naja danke erstma
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kater!
> hm ne. ich verstehe das hier nicht : [mm] ds=\wurzel{\Delta x²+\Delta y²}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hinter diesem Ausdruck steckt die Abstandsformel zweier Punkte (die also geradlinig miteinander verbunden werden). Diese Formel selber kann mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet werden.
$ds \ = \ d(P_1;P_2) \ = \ \wurzel{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2 \ }$
Nun schreiben wir: $\Delta x \ := \ x_2-x_1$ sowie $\Delta y \ := \ y_2-y_1$
Damit wird:
$ds \ = \ \wurzel{(\Delta x)^2+(\Delta y\right)^2 \ }$
Nun $(\Delta x)^2$ ausklammern:
$ds \ = \ \wurzel{(\Delta x)^2*\left[1+\bruch{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}\right] \ }$
$ds \ = \ \wurzel{(\Delta x)^2}*\wurzel{1+\left(\bruch{\Delta y}{\Delta x}\right)^2 \ }$
$ds \ = \ \Delta x*\wurzel{1+\left(\bruch{\Delta y}{\Delta x}\right)^2 \ }$
Nun mache ich die Grenzwertbetrachtung für $\Delta x \rightarrow 0$ und setze ein:
$f'(x) \ = \ \limes_{\Delta x \rightarrow 0}\bruch{\Delta y}{\Delta x}$
Und für das $\Delta x$ vor der Wurzel kann ich schreiben (denn nichts anderes gibt das Differential ja an): $dx \ := \ \limes_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x$ .
Damit wird: $ds \ = \ dx*\wurzel{1+[f'(x)]^2 \ }$
Dies nun einsetzen in die Guldin'sche Formel (siehe Antwort oben) ... fertig!
Gruß
Loddar
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hm ne ich verstehs nich so ganz. kennt ihr zufällig ne hp wo man das auch so anhand von graphen nachvollziehn kann??
sry, trotzdem danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Mo 27.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Kater!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen und ich kenne auch keine derartige Homepage.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Fr 24.02.2006 | | Autor: | statler |
Hey Loddar,
> (denn nichts anderes gibt das Differential ja an): [mm]dx \ := \ \limes_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x[/mm]
[mm]dx \ := \ \limes_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x[/mm]
ist aber doch sehr ingenieursmäßig, meine Nackenhaare fangen ganz leicht an sich zu sträuben.
Gut, weil heute Freitag ist und in großen Teilen Deutschlands Karneval, will ich mal nicht so sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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