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Eine Polynomdivision macht im Grunde immer nur Sinn,
wenn das Zählerpolynom mindestens ein Grad höher ist als das Nennerpolynom.
Polynomdivision führt man im Grunde wie die normale Division durch:
Als erstes schreibt man sich Zähler und Nenner so auf:
(Zähler) : (Nenner) = ...
Am Beispiel der ersten Aufgabe:
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = ...
Nun guckt man sich Zähler und Nenner an und macht jeweils die x aus, welche die höchste Potenz haben:
Im Zähler ist das [mm] 5x^{2}, [/mm] im Nenner [mm] 2x^{1}.
[/mm]
Der Quotient aus diesen beiden ist der erste Teil des Ergebnisses:
[mm] \bruch{HöchsteZählerpotenz}{HöchsteNennerpotenz} [/mm] = Erstes Teilergebnis
[mm] \bruch{5x^{2}}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}x, [/mm] also
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] + ...
Wie bei der normalen Division rechnet man nun das gerade herausgefundene Teilergebnis mal den Nenner und schreibt das unter den Zähler:
Dann zieht man das Ergebnis vom Zähler ab.
(Erstes Teilergebnis) * (Nenner) = Subtrahend
[mm] \bruch{5}{2}x [/mm] * (2x - 4) = [mm] 5x^{2} [/mm] - 10x, also
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] + ...
[mm] -(5x^{2} [/mm] - 10x)
---------------------
10x - 1
Als Zwischenergebnis bleibt 10x - 1. Ab hier geht man wieder wie oben vor:
Die neue höchste Potenz von x (beim Zwischenergebnis 10x - 1) ist nun 10x, die höchste Potenz von x im Nenner weiterhin 2x. Man bildet den Quotienten:
[mm] \bruch{10x}{2x} [/mm] = 5
Das Teilergebnis wird hinter das erste geschrieben:
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] + 5
[mm] -(5x^{2} [/mm] - 10x)
---------------------
10x - 1
Das Produkt aus Teilergebnis und Nenner wird gebildet:
5 * (2x - 4) = 10x - 20
Das wird nun unter die vorherige Differenz geschrieben und wieder abgezogen:
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] + 5
[mm] -(5x^{2} [/mm] - 10x)
---------------------
10x - 1
-(10x - 20)
---------------------
19
===
Nun kann man den Rest nicht mehr durch den Nenner (2x-4) ausdrücken, es ist der Rest der Division. Man schreibt nun:
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] + 5 + [mm] \bruch{REST}{NENNER}
[/mm]
Hier also:
[mm] (5x^{2} [/mm] - 1) : (2x - 4) = [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] + 5 + [mm] \bruch{19}{2x - 4}
[/mm]
Probiers mal für die anderen Aufgaben!
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Ja, aber im Grunde kann die Potenz des Zählers auch gleich hoch wie die des Nenners sein, aber auf keinen Fall niedriger.
z.B.
[mm] \bruch{x-1}{x+1}:
[/mm]
(x-1):(x+1) = 1
-(x+1)
---------
-2
===
-->
[mm] \bruch{x-1}{x+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{2}{x+1}.
[/mm]
Warum das euer Lehrer nicht gemacht hat, liegt vielleicht daran, weil bei gleich hohen Potenzen von x in Zähler und Nenner mit der Polynomdivision trotzdem keine allzu hohen Sprünge gemacht werden können. (Wie man oben sehen kann).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 13.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich denke, die Polynomdivision macht in drei Anwendungen besonders Sinn.
1. Zur Faktorisierung von Polynomfunktionen.
(Für die Nullstellenbestimmung)
Bsp: f(x)=x³+x²-4x-4
Hier gibt es halt keine Formel, anhand der man die Nullstellen bestimmen kann.
Also versucht man, den Term in Linearfaktoren zu zerlegen.
Dazu "errät" man erstmal eine Nullstelle, hier z.B. -1
Jetzt führt man mit x+1 eine Polynomd. aus.
Also:
(x³+x²-4x-4):(x+1)=x²+0x-4
-(x³+x²)
0x²-4x
-(0x²-0x)
-4x-4
-(-4x-4)
0
Also:
f(x)=x³+x²-4x-4 =(x+1)(x²-4)
Und vom Term x²-4 kann man nun die weiteren Nullstellen ermitteln
2: Grenzwertbetrachtungen:
Wenn du z.B. den Grenzwert von [mm] f(x)=\bruch{4x}{x-1} [/mm] bestimmen willst.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4x}{x-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(4+\bruch{4}{x-1})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(4)+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4}{x-1}
[/mm]
=4+0
=4
3: Zur Bestimmung von Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen.
Dein Beispiel:
[mm] \bruch{5x²-1}{2x - 4}
[/mm]
Also: [mm] (5x^{2} [/mm] $ - 1) : (2x - 4)=$ [mm] \bruch{5}{2}x [/mm] $ + 5 + $ [mm] \bruch{19}{2x - 4} [/mm] $
Hier ist dann der Teil ohne Nenner, also hier die Gerade [mm] a(x)=\bruch{5}{2}x+5 [/mm] die Asymptote von [mm] f(x)=\bruch{5x²-1}{2x - 4}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 13.01.2008 | | Autor: | abcdabcd2 |
sadfsdf
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