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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Nikia |
haallo!
mein mathebuch gibt folgende aufgabe an...
Eine Gerade geht durch die punkte S1(4|0) und S2(0|7/3)
für welchen punkt P hat das rechteck OAPB den größten flächeninhalt?
Dazu gibt es ein koordinatensystem mit einer geraden mit den punkten S1 & S2, das angesprochene rechteck is dort auch eingezeichnet. eine ecke davon sitzt quasi im punkt (0|0), zwei weitere sind jeweils auch einer der achsen und der vierte, welcher berechnet werden soll, liegt auf der geraden.
zu den punkten die auf jeweils einer achse liegen gibt es keine genaueren angaben.
was soll ich tun? bitte helft mir...
Nikia
PS: #
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:10 Sa 24.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hi....
Also Grundsätzlich solltest du versuchen irgentwie ne'n Ansatz mitzuposten, aber ich werd dir mal versuchen was weiterzuhelfen.
Ich weiß nun leider nicht, was deine Mitgepostete "Scheitelpunnkt-Form" ist. Ich lass die Frage deshalb mal nur auf "Teilweise beantwortet" denn Möglicherweise sollst du das nach einem anderen Verfahren machen. Ich kanns dir aber mal Erklären, wie es aufjedenfall auch gehen würde.
Also, du sollst bei dieser Aufgabe, mit anderen Worten, das eingeschobene Rechteck durch eine Funktion beschreiben, und letztlich nichts anderes machen, als die Extremstelle davon zu berechnen.
So, wie findet man denn so eine Funktion?
Ich will mal versuchen, dir da eine kleine Anleitung zu geben. Der Flächenihalt wird ja für gewöhnlich mit der"Formel" Grundseite*Höhe berechnet. Sagen wir mal, die Grudseite heißt hier s, und die Höhe nennen wir T. Es gilt also A=t*s. An diese beiden Konstanten mußt du nun dran kommen.
Wie könnte man nun an t drankommen?
Nun, du hast zwei Punkte gegeben. Mit disen Informationen kann man eien Gerade angeben. (2-Punkte Form). Sie lautet y= [mm] \bruch{-7}{12}x+2 \bruch{1}{3}. [/mm] So, diese Info kannst du ausnutzen, indem du die Funktion gleich t, also gleich der Höhe setzt, da ja ein Punkt auf der Geraden liegt. (Ich hab 0 mit dem Nullpunkt-,S1 mit A-,S2 mit B-, und den Punkt auf der Geraden mit P nummeriert.) Punkt P liegt also immer auf der Geraden, und bildet somit die Höhe des ges. Rechtecks.
So, nun versuche mal selber weiter zu machen.
(als Anleitung: versuche die Grundseite geeignet zu beschreiben, so das du später, wenn du eine Gleichungen in A einsetzt, eine Funktion hast, die eine Variabel enthält. Diese leitest du dann ab)
Versuchs mal.
Vielleicht weißt ja sonst hier jemand, was eine "Scheitelpunktform" ist, und hat einen anderen Ansatz.
Viele Grüße Benno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Nikia |
scheitelpunktform ist, wenn man aus einer quadratischen gleichung
y = ax²+bx+c
das hier macht y = a*(x-d)²+f (der lehrer sagt, man muss es damit angehen...)
ich wollte nur fragen, wie ich nach t auflösen soll, wenn ich doch die seiten des rechtecks nicht habe?
danke für alles!!
Nikia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Guten Morgen Nikia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zunächst benötigen wir die Geradengleichung durch die beiden gegebenen Punkte $S_1$ und $S_2$.
Diese hat Dir Benno bereits genannt und wurde mit der Zwei-Punkte-Form bestimmt:
$\bruch{y-y_1}{x-x_1} \ = \ \bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\Rightarrow$ $y \ = \ -\bruch{7}{12}*x+\bruch{7}{3}$
Nun sieh Dir doch mal Deine Zeichnung an.
Wenn wir die gesuchte Grundlänge des Rechteckes $x_$ nennen und die zugehörige Höhe $y_$, ergibt sich für den Flächenninhalt:
$A \ = \ A(x;y) \ = \ x*y$
Das $x_$ kann ich ja frei wählen zwischen den Werten $0_$ und $4_$.
Dabei hängt der $y_$-Wert aber immer genau von dem Funktionswert der Geraden ab, da der rechte obere Eckpunkt exakt auf der Geraden liegt.
Da wir ja die Geradengleichung kennen, setzen wir diese einfach mal in die Flächenfunktion ein:
$A(x) \ = \ x*\left(-\bruch{7}{12}*x+\bruch{7}{3}\right) \ = \ -\bruch{7}{12}*x^2+\bruch{7}{3}*x$
Hierbei handelt es sich nun um eine (quadratische) Parabelfunktion. Den größten Wert für die Fläche könnte man nun mit Differentialrechnung lösen.
Du sollst aber anscheinend ohne dieses Hilfsmittel auskommen. Und der maximale bzw. minimale Wert einer Parabel (je nachdem, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist) liegt ja genau im Scheitelpunkt.
Daher musst Du nun oben genannte Parabelfunktion nun nur noch in die Scheitelpunktsform $y \ = \ a*\left(x-x_S)^2 + y_S$ umformen und den maximalen Wert (nämlich $y_S$) ablesen.
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Nikia |
wow, cool, das geht dann ja prima
ich bedanke mich ganz herzlich auch im namen einiger mitschüler und verneige mich zutiefst vor euch beiden, die ihr mir so prächtig geholfen habt :)
bis demnächst,
Nikia
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