scheitere anIntegralberechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Fr 19.10.2007 | | Autor: | heda |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{\wurzel{x+1}}{x} dx} [/mm] |
Hallo!
ich hoffe ihr könnt mir mit meinem integral weiterhelfen!
ich habe es mit partieller Integration versucht, komme aber auf keinen grünen Zweig!
Vielen Dank schon im Voraus!
LG heda
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heda!
Versuche es mal mit folgender Substitution:
$$z \ := \ [mm] \wurzel{x+1} [/mm] \ \ \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ \ \ x \ = \ [mm] z^2-1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Fr 19.10.2007 | | Autor: | heda |
Hallo Loddar!
danke für die schnelle antwort!
leider fehlt mir etwas der durchblick!
was mache ich jetzt mit meinem integral?
wenn ich substituiere muss ich doch mein dx ebenfalls verändern!
muss ich in mein integral dann das x einsetzen? dann wäre da x/x im integral was ja auch nicht wirklich sinnvoll ist!
Nach dem substituieren muss ich noch die partielle Integration anwenden oder irre ich mich da?
lg heda
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 19.10.2007 | | Autor: | heda |
Hallo nochmal!
Also schön langsam komm ich mir etwas blöd vor, aber ja ich versuchs trotzdem nochmal!
[mm] 2*\integral{\bruch{z^2}{z^2-1}dz}
[/mm]
das form ich um auf
[mm] 2*\integral{z^2*(z^2-1)^{-1}dz}
[/mm]
dann schau ich mal
f'(z) = [mm] z^2 [/mm] --> f(z) = [mm] \bruch{z^3}{3}
[/mm]
g(z) = [mm] (z^2-1)^{-1} [/mm] --> g'(z) = [mm] (-1)*(z^2-1)^{-2}*2z
[/mm]
jetzt mach ich die part. integration:
2* [mm] [\bruch{z^3}{3} [/mm] * [mm] (z^2-1)^{-1} [/mm] - [mm] \integral{\bruch{z^3}{3} * (-1)*(z^2-1)^{-2}*2z dz} [/mm] ]
bissl herumkürzen/rausheben
2* [mm] [\bruch{z^3}{3} [/mm] * [mm] (z^2-1)^{-1} [/mm] - [mm] (-\bruch{2}{3})*\integral{z^4 *(z^2-1)^{-2} dz} [/mm] ]
jetzt könnt ich das gleiche Spiel mit der part. integration nochmal von vorne machen, das führt aber zu nichts (auf jeden fall bei mir)!
Was habe ich da falsch gemacht, bzw. könntest du mir einen Ansatz geben wie ich da weiterkomme?
Danke für die Bemühungen!
LG Heda
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 19.10.2007 | | Autor: | heda |
Ahhh!
perfekt!
ich glaube ich hab jetzt die richtige lösung würde trotzdem noch gerne einmal rückfragen!
[mm] 2*\integral{1+\bruch{1}{(z+1)*(z-1)}dz}
[/mm]
Integral aufteilen:
[mm] 2*\integral{1dz} [/mm] + [mm] 2*\integral{\bruch{1}{(z+1)*(z-1)}dz}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
1 = [mm] A_{1}*(z+1) [/mm] + [mm] A_{2}*(z-1)
[/mm]
1 = [mm] A_{1}*z+ A_{1} [/mm] + [mm] A_{2}*z [/mm] - [mm] A_{2}
[/mm]
1 = [mm] (A_{1} [/mm] + [mm] A_{2})*z [/mm] + [mm] (A_{1} [/mm] - [mm] A_{2})
[/mm]
2 Gleichungen:
1 = [mm] A_{1} [/mm] - [mm] A_{2}
[/mm]
0 = [mm] A_{1} [/mm] + [mm] A_{2}
[/mm]
--> [mm] A_{1} [/mm] = 0.5, [mm] A_{2} [/mm] = -0,5
jetzt einsetzen:
[mm] 2*[\integral{1dz} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral{\bruch{1}{z+1}dz} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral{\bruch{1}{z-1}dz}]
[/mm]
= [mm] 2*[z+\bruch{1}{2} [/mm] * ln(z+1) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ln(z-1)]
= [mm] 2*[\wurzel{x+1}+\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] ln(\wurzel{x+1}+1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] ln(\wurzel{x+1}-1) [/mm] ]
stimmt das so?
und kann man das noch vereinfachen?
lg heda
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo heda!
Bei den Koeffizienten der Partialbruchzerlegung hast Du die beiden Vorzeichen vertauscht. Es muss heißen:
[mm] $$\bruch{1}{(z+1)*(z-1)} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{z+1} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{z-1}$$
[/mm]
Ansonsten sieht es sehr gut aus. Zur Vereinfachung kannst Du noch die $2_$ in die eckige Klammer multiplizieren.
Und wenn Du dann noch Spaß an der Sache hast, kannst Du die beiden Logarithmen mitels  Logarithmusgesetz zusammenfassen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 19.10.2007 | | Autor: | heda |
bin beeindruckt wie schnell die antworten da kommen vielen dank!
das mit dem vorzeichenfehler kann ich grad nicht ganz nachvollziehen!
scheinbar steh ich auf der leitung!
meinst du am schluss sollte es dann so aussehen:
$ [mm] 2\cdot{}[\integral{1dz} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ * $ [mm] \integral{\bruch{1}{z+1}dz} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ * $ [mm] \integral{\bruch{1}{z-1}dz}] [/mm] $
wenn ja warum gehört das vertauscht? mein A1 ist ja 0,5 und bein A2 = -0,5! oder ist der fehler schon wo anders passiert!
lg heda
|
|
|
| |
|
Hallo heda,
schaue dir nochmal deinen post von oben an, wo du die PBZ gemacht hast.
Da hast du die Rollen von [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] doch so verteilt (zumindest implizit  )
[mm] \frac{1}{(z+1)(z-1)}=\frac{A_2}{z+1}+\frac{A_1}{z-1}
[/mm]
Du hattest in deiner Rechnung doch [mm] A_1 [/mm] mit (z+1) erweitert (multipliziert) und [mm] A_2 [/mm] mit (z-1)
Nachher hast du's aber als [mm] \frac{A_1}{z+1}+\frac{A_2}{z-1} [/mm] wieder aufgeschrieben
Daher der Dreher...
Also stimmt deine Summe der Integrale jetzt.
Dann stürze dich mal drauf
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Sa 20.10.2007 | | Autor: | heda |
Vielen Dank für die tolle und schnelle Hilfe an Loddar und schachuzipus!
LG Heda
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
Da ich nicht richtig lesen kann, habe ich Dich auf die falsche Fährte gesetzt.
