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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 14.04.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Von einem Turm werden zwei Bälle mit gleicher Geschwindigkeit, aber verschiedenen Winkel geworfen. Beide Objekte besitzen den selben Aufprallort. Berechnen Sie die Weite und die Höhe des Turmes.
geg.: [mm] v_0=20 [/mm] m/s, g=10 [mm] m/s^2, \alpha_1=30°, \alpha_2=45°.
[/mm]
Skizze: http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/abckqiswuxeng.png |
Hallo
irgendwie schaffe ich es nicht, die Werte für die Abwurfhöhe und Reichweite zu bestimmen.
Bewegungsgleichungen:
in x-Richtung bewegt sich der Ball mit [mm] x=v_x*t
[/mm]
in y-Richtung mit [mm] y=\bruch{-g*t^2}{2}+v_y*t+h [/mm] mit Geschwindigkeit [mm] v_{senkrecht}=-g*t+v_y.
[/mm]
Im Aufprallpunkt gilt y=0
-> [mm] 0=\bruch{-g*t^2}{2}+v_y*t+h
[/mm]
[mm] \gdw 0=t^2-\bruch{2v_y*t}{g}-\bruch{2h}{g}
[/mm]
[mm] t_w=\bruch{v_y}{g}+\wurzel{\bruch{v_y^2}{g^2}+\bruch{2hg}{g^2}}
[/mm]
in [mm] x=v_x*t [/mm] eingesetzt:
[mm] x=v_x(\bruch{v_y}{g}+\wurzel{\bruch{v_y^2}{g^2}+\bruch{2hg}{g^2}}).
[/mm]
Mit [mm] v_x=cos\alpha*v_0, v_y=sin\alpha*v_0, [/mm] Berechnung zu Winkel [mm] \alpha=30°:
[/mm]
[mm] x_1=\wurzel{3}*10(\bruch{10}{10}+\wurzel{1+\bruch{20h}{100}})=\wurzel{3}*10(1+\wurzel{1+\bruch{1h}{5}}).
[/mm]
Berechnung zu Winkel [mm] \alpha=45°:
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel{2}*10(\wurzel{2}+\wurzel{\bruch{200+20h}{100}})=\wurzel{2}*10(\wurzel{2}+\wurzel{2+\bruch{1h}{5}}).
[/mm]
Da der Aufprallpunkt zu verschiedenen Winkel gleich ist, gilt [mm] x_1=x_2:
[/mm]
[mm] \wurzel{3}*10(1+\wurzel{1+\bruch{1h}{5}})=\wurzel{2}*10(\wurzel{2}+\wurzel{2+\bruch{1h}{5}}).
[/mm]
Leider kann ich nicht vernünftig nach h umformen:
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}+\wurzel{2+\bruch{1h}{5}}}{1+\wurzel{1+\bruch{1h}{5}}} [/mm] ....???
Über Hilfe wäre ich dankbar.
Mfg,
Lentio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du rechnest ungeschickt für das problem.
bestimme t1 und t2 aus x1 und x2
und setz in y ein. du hast die 2 Gleichungen -h=----
setz die gleich und du findest x=x1=x2. in eine von beiden einsetzen gibt h
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke, das sieht doch gleich anders aus.
Also t aus [mm] x=v_x*t [/mm] bestimmt und in y=.... eingesetzt, ergibt dann:
[mm] 0=-\bruch{1}{2}*g*\bruch{x^2}{v^2_x}+v_y*\bruch{x}{v_x}+h.
[/mm]
mit dem entsprechenden Winkel :
[mm] \alpha_1=30°
[/mm]
[mm] x_1=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit [mm] \alpha_1=45°
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{x^2}{40}+x+h.
[/mm]
[mm] -\bruch{x^2}{40}+x+h=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h
[/mm]
[mm] \gdw 0=\bruch{2x^2}{240}+x(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)
[/mm]
[mm] \gdw 0=x^2+x120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)
[/mm]
->x= [mm] -\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}\pm\wurzel{\bruch{(120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1))^2}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] -60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] -60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm 60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)
[/mm]
Wenn ich aber den letzten Term addiere kommt 0 raus und subtrahiere ich, eine negative Länge?!
So oft ich aber nachrechne, ich komme auf das selbe Ergebnis.
mfg,
Lentio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Fr 15.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke, das sieht doch gleich anders aus.
>
> Also t aus [mm]x=v_x*t[/mm] bestimmt und in y=.... eingesetzt,
> ergibt dann:
>
> [mm]0=-\bruch{1}{2}*g*\bruch{x^2}{v^2_x}+v_y*\bruch{x}{v_x}+h.[/mm]
> mit dem entsprechenden Winkel :
>
> [mm]\alpha_1=30°[/mm]
>
> [mm]x_1=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h[/mm] und [mm]x_2[/mm] mit
> [mm]\alpha_1=45°[/mm]
>
> [mm]x_2=-\bruch{x^2}{40}+x+h.[/mm]
>
> [mm]-\bruch{x^2}{40}+x+h=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h[/mm]
> [mm]\gdw 0=\bruch{2x^2}{240}+x(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)[/mm]
> [mm]\gdw 0=x^2+x120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)[/mm]
>
> ->x=
> [mm]-\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}\pm\wurzel{\bruch{(120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1))^2}{4}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x=
> [mm]-60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x= [mm]-60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm 60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)[/mm]
>
> Wenn ich aber den letzten Term addiere kommt 0 raus und
> subtrahiere ich, eine negative Länge?!
>
> So oft ich aber nachrechne, ich komme auf das selbe
> Ergebnis.
Tja, was soll man dazu sagen ? Wenn Du subtrahierst, kommst Du sicher auf
$x= [mm] -120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)$,
[/mm]
stimmts ? Es gibt in der Mathematik ein längst vergessen Regel, welche besagt:
"minus x minus = plus".
Die nützt Dir aber nur dann etwas, wenn Du Dir klar machst, dass [mm] $\bruch{1}{\wurzel{3}}-1<0$ [/mm] ist.
Ich verrate Dir noch etwas aus meinem Geheimwissen:
Wenn Du die Gleichung $ [mm] 0=x^2+120*x(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1) [/mm] $ lösen willst, gibt es einen wahnsinnsdollen Trick: auf der rechten Seite x ausklammern, dann kannst Du Dir das Geschoß "pq-Formel" sparen.
Bitte behalte die Sachen aus meiner Trickkiste für Dich.
Gruß vom GEHEIMFRED (dem trickreichen).
>
>
> mfg,
> Lentio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Lentio |
Uiuiuiui! Ob ich dieser Macht wohl gewachsen bin ;) ?!
Vielen Dank!
mfg,
Lentio.
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