schnittgeraden mit ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 10.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
URGENT!!!!!!!!!!!!
habe morgen matheklausur und ich kann keine parameterdarstellung der spurgeraden s12, s13 und s23 bei z.B. E: 2x1 - 3x2 + 5x3 = 60 oder noch schlimmer, wenn E: x2 + 2x3 = 7.
die methode einfach x1, x2 oder x3 einzusestzen funktioniert nicht...
was muß ich denn da machen??
vieln dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 10.01.2005 | | Autor: | dominik |
Die Spurgeraden sind ja die Schnittgeraden der Ebene mit den Hauptebenen (Grundriss-, Aufriss- und Seitenrissebene). Am besten bestimmst du zuerst die drei Spurpunkte auf den Achsen.
[mm] S_{1} [/mm] auf [mm] x_{1}: [/mm] der y- und z-Wert sind beide Null: [mm] S_{1}(x/0/0)
[/mm]
[mm] S_{2} [/mm] auf [mm] x_{2}: [/mm] der x- und z-Wert sind beide Null: [mm] S_{2}(0/y/0)
[/mm]
[mm] S_{3} [/mm] auf [mm] x_{3}: [/mm] der x- und y-Wert sind beide Null: [mm] S_{3}(0/0/z)
[/mm]
Nun bestimmst du mit Hilfe der Ebenengleichung x, y und z:
[mm] E:2x_{1}-3x_{2}+5x_{3}=60 [/mm]
[mm] S_{1}(x/0/0): [/mm] y=z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2x=60 [mm] \Rightarrow [/mm] x=30 [mm] \Rightarrow S_{1}(30/0/0);
[/mm]
[mm] S_{2}(0/y/0): [/mm] x=z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] -3y=60 [mm] \Rightarrow [/mm] y=-20 [mm] \Rightarrow S_{2}(0/-20/0):
[/mm]
[mm] S_{3}(0/0/z): [/mm] x=y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 5z=60 [mm] \Rightarrow [/mm] z=12 [mm] \Rightarrow S_{3}(0/0/12).
[/mm]
Nun können die drei Spurgeraden gebildet werden:
[mm] s_{12}=(S_{1}S_{2}): \vec{r}= \vektor{30 \\ 0\\0}+s*\vektor{30 \\ 20\\0}
[/mm]
Der Richtungsvektor kann mit 10 gekürzt werden, der Stützvektor jedoch nicht, also:
[mm] s_{12}: \vec{r}= \vektor{30 \\ 0\\0}+s*\vektor{3 \\ 2\\0}
[/mm]
[mm] s_{23}=(S_{2}S_{3}): \vec{r}= \vektor{0 \\ 0\\12}+t*\vektor{0 \\ 20\\12}
[/mm]
Den Richtungsvektor mit 4 kürzen, also:
[mm] s_{23}: \vec{r}= \vektor{0 \\ 0\\12}+t*\vektor{0 \\ 5\\3} [/mm]
[mm] s_{13}=(S_{1}S_{3}): \vec{r}= \vektor{30 \\ 0\\0}+u*\vektor{30 \\ 0\\-12}
[/mm]
Den Richtungsvektor mit 2 kürzen, also:
[mm] s_{13}: \vec{r}= \vektor{30 \\ 0\\0}+u*\vektor{15 \\ 0\\-6}
[/mm]
Nun zur andern Ebene:
[mm] E:x_{2}+2x_{3}=7
[/mm]
Da [mm] x_{1} [/mm] in der Gleichung fehlt, ist diese Ebene paralle zur [mm] x_{1}-Achse; [/mm] sie steht auf der [mm] x_{2}x_{3}-Ebene [/mm] (Aufrissebene) senkrecht (ist eine so genannte zweitprojizierende Ebene).
Ihre Spuren in der [mm] x_{1}x_{2}-Ebene [/mm] und in der [mm] x_{1}x_{3}-Ebene [/mm] verlaufen parallel zur [mm] x_{1}-Achse.
[/mm]
[mm] S_{2} [/mm] und [mm] S_{3} [/mm] bestimmen [mm] (S_{1} [/mm] exisitiert wegen der besonderen Lage nicht). Wie oben:
[mm] S_{2}(0/y/0): [/mm] x=z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=7 [mm] \Rightarrow S_{2}(0/7/0);
[/mm]
[mm] S_{3}(0/0/z): [/mm] x=y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2z=7 [mm] \Rightarrow S_{3}(0/0/ \bruch{7}{2});
[/mm]
Daraus folgen die Gleichungen der Spurgeraden:
[mm] s_{12}=(S_{1}S_{2}): \vec{r}= \vektor{0 \\ 7\\0}+s*\vektor{1 \\ 0\\0};
[/mm]
[mm] s_{23}=(S_{2}S_{3}): \vec{r}= \vektor{0 \\ 7\\0}+t*\vektor{0 \\ 7\\- \bruch{7}{2}}; [/mm] den Richtungsvektor verdoppeln und durch 7 dividieren, damit der Bruch wegfällt, also:
[mm] s_{23}=(S_{2}S_{3}): \vec{r}= \vektor{0 \\ 7\\0}+s*\vektor{0 \\ 2\\-1}
[/mm]
[mm] s_{13}=(S_{1}S_{3}): \vec{r}= \vektor{0 \\ 0\\-\bruch{7}{2}}+u*\vektor{1 \\ 0\\0}
[/mm]
So, damit sollte alles berechnet sein!
Bitte, kontrolliere alle Schritte.
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 10.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
DANKE, für die schnelle Antwort!
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