schnittpunkte im dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A = (6; 0), B = (4; -2) und
C = (0; 4).
a) Aus einer Geometrie-Vorlesung ist bekannt, dass sich die drei Höhengeraden in einem Punkt schneiden. Berechnen Sie diesen Schnittpunkt.
b) Weiterhin liefert dieselbe Geometrie-Vorlesung die Aussage: Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Berechnen Sie diesen Schnittpunkt.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden |
was sind höhengeraden? und was ist der unterschied zwischen seitenhalbierenden und mittelsenkrechten?
ich habe den mittelpunkt der drei seiten bestimmt und dann versucht den schnittpunkt der geraden, die die mittelpunkte bilden, zu bestimmen
ich weiß nicht ob das aufgabe b oder c ist
wo ist der fehler
siehe bild:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo arbeitsamt,
Dein Scan ist zu groß. Das ist nervig anzuschauen. Scanne entweder mit niedrigerer Auflösung oder rechne das Bild hinterher kleiner.
Höhengeraden sind die Verlängerungen der "Höhen". Eine Höhe ist dabei das Lot von einem Dreieckspunkt auf die gegenüberliegende Seite bzw. deren Verlängerung.
Mittelsenkrechten stehen in der Mitte einer Seite senkrecht auf dieser (und werden meist gleich zur Gerade verlängert).
Seitenhalbierende sind die Verbindung zwischen einer Seitenmitte und dem gegenüberliegenden Dreieckspunkt.
Im allgemeinen Dreieck sind diese drei "Linien" voneinander verschieden.
Grüße
reverend
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habe das bild im eingabefeld entfernt. meine rechnung ist im anhang zu sehen
wo ist da der fehler?
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> habe das bild im eingabefeld entfernt. meine rechnung ist
> im anhang zu sehen
>
> wo ist da der fehler?
Hallo,
ein großer Fehler ist, daß die Rechnung gescannt ist.
Das ist total umständlich - für die, die bereit sind, Dir zu helfen.
Deine Gerade [mm] g_1 [/mm] soll wohl die Seitenhalbierende von BC sein,
also die Gerade, die durch A und [mm] M_{BC}, [/mm] die Mitte von BC, geht.
Der Richungsvektor dieser Geraden ist doch [mm] \overrightarrow{AM_{BC}}, [/mm] und nicht der Ortsvektor von [mm] M_{BC}.
[/mm]
Bei der anderen Geraden genauso.
LG Angela
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Ich habe jezt den schnittpunkt berechnet. das wäre der schnittpunkt der seitenhalbierende
wie bestimme ich den schnittpunkt der mittelsenkrechten? die mittel senkrechte steht senkrecht auf der mitte der seite
dann wäre der ortsvektor der mittelpunkt. Aber wie bestimme ich den richtungsvektor? über den skalarprodukt?
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> Ich habe jezt den schnittpunkt berechnet. das wäre der
> schnittpunkt der seitenhalbierende
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> wie bestimme ich den schnittpunkt der mittelsenkrechten?
> die mittel senkrechte steht senkrecht auf der mitte der
> seite
>
> dann wäre der ortsvektor der mittelpunkt. Aber wie
> bestimme ich den richtungsvektor? über den skalarprodukt?
Hallo,
machen wir ein Beispiel:
wir suchen einen Vektor, der senkrecht zu [mm] \vektor{1\\2} [/mm] ist.
Aufgepaßt: [mm] \vektor{-2\\1} [/mm] tut's, denn es ist [mm] \vektor{1\\2}*\vektor{-2\\1}=0
[/mm]
LG Angela
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Danke
eine letzte frage habe ich noch
zur aufgabe a) die höhengeraden laufen von den punkten A, B umd C senkrech zu den gwgwnüber liegendwn seiten. dann bwatimmw ich den richrungsvektoe auch über dwn skalarprodukt oder?
Sry für die schreibfehler
bin mit dem handy online
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Hallo,
> Danke
> eine letzte frage habe ich noch
>
> zur aufgabe a) die höhengeraden laufen von den punkten A,
> B umd C senkrech zu den gwgwnüber liegendwn seiten. dann
> bwatimmw ich den richrungsvektoe auch über dwn
> skalarprodukt oder?
Halt genauso wie bei den Mittelsenkrechten, denn sie haben ja die gleiche Richtung...
PS: mein Handy gibt mir da immer so nervige Korrekturvorschläge, erstaunlich oft sind sie aber brauchbar! 
Gruß, Diophant
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> machen wir ein Beispiel:
>
> wir suchen einen Vektor, der senkrecht zu [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> ist.
>
> Aufgepaßt: [mm]\vektor{-2\\1}[/mm] tut's, denn es ist
> [mm]\vektor{1\\2}*\vektor{-2\\1}=0[/mm]
die geradengleichung wäre dann
[mm] \vektor{1\\2}+s\vektor{-2-1\\1-2}
[/mm]
richtig?
bei meiner rechnung komme ich auf keinen schnittpunkt. ich glaube ich habe die geradengleichung falsch aufgestellt
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> > machen wir ein Beispiel:
> >
> > wir suchen einen Vektor, der senkrecht zu [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> > ist.
> >
> > Aufgepaßt: [mm]\vektor{-2\\1}[/mm] tut's, denn es ist
> > [mm]\vektor{1\\2}*\vektor{-2\\1}=0[/mm]
>
> die geradengleichung wäre dann
>
> [mm]\vektor{1\\2}+s\vektor{-2-1\\1-2}[/mm]
>
> richtig? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich sehe nicht, welche Gerade du damit beschreiben willst.
> bei meiner rechnung komme ich auf keinen schnittpunkt. ich
> glaube ich habe die geradengleichung falsch aufgestellt
Um eine Geradengleichung in vektorieller Form
zu erstellen, brauchst du:
1.) einen (schon bekannten) Punkt der Geraden
2.) einen Richtungsvektor für die Gerade
Ein Beispiel an deiner Aufgabe:
Wie lautet die Gleichung der Mittelsenkrechten der
Seite [mm] \overline{AC} [/mm] ?
Der Mittelpunkt [mm] M_{\,\overline{AC}} [/mm] dieser Seite hat die
Koordinaten (3|2) . Das hattest du schon. Die Mittel-
senkrechte muss zum Seitenvektor [mm] \overline{AC}=\pmat{-6\\4}
[/mm]
oder auch zu dessen Hälfte [mm] \pmat{-3\\2} [/mm] orthogonal
stehen. Als Richtungsvektor [mm] \vec{d} [/mm] für die Mittelsenkrechte [mm] m_{\,\overline{AC}}
[/mm]
kommt also z.B. der Vektor [mm] $\vec{d}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{2\\3}$ [/mm] in Frage.
So, und nun kann man eine Geradengleichung aufstellen:
$\ [mm] m_{\,\overline{AC}}\,:\quad \pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{M}_{\ \overline{AC}}+t*\vec{d}$
[/mm]
Mit den eingesetzten Werten:
$\ [mm] m_{\,\overline{AC}}\,:\quad \pmat{x\\y}\ [/mm] =\ \ [mm] \pmat{3\\2}\ +t*\pmat{2\\3}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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> [mm]\ m_{\,\overline{AC}}\,:\quad \pmat{x\\y}\ =\ \ \pmat{3\\2}\ +t*\pmat{2\\3}[/mm]
müsste das skalarprodukt aus den beiden vektoren nicht 0 sein?
der mittelpunkt der seite [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ist [mm] \vektor{3 \\ 2}
[/mm]
das ist der ortvektor der gerade. der richtungsvektor ist orthogonal zum ortvektor. also ist der richtungsvektor [mm] \vektor{-2 \\ 3}
[/mm]
denn [mm] \vektor{3 \\ 2}*\vektor{-2 \\ 3}=0
[/mm]
meine geradengleichung wäre dann:
x= [mm] \vektor{3 \\ 2}+t \vektor{-2 \\ 3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > [mm]\ m_{\,\overline{AC}}\,:\quad \pmat{x\\y}\ =\ \ \pmat{3\\2}\ +t*\pmat{2\\3}[/mm]
>
> müsste das skalarprodukt aus den beiden vektoren nicht 0
> sein?
>
> der mittelpunkt der seite [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] ist [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm]
>
> das ist der ortvektor der gerade. der richtungsvektor ist
> orthogonal zum ortvektor.
Nein der Richtungsvektor der Höhengerade und der Mittelsenkrechtengerade steht senkrecht auf dem Vektor der entsprechenden Seite, die du betrachtest.
Marius
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> > [mm]\ m_{\,\overline{AC}}\,:\quad \pmat{x\\y}\ =\ \ \pmat{3\\2}\ +t*\pmat{2\\3}[/mm]
>
> müsste das skalarprodukt aus den beiden vektoren nicht 0
> sein?
Du denkst also, dass der Ortsvektor des Mittel-
punktes der Strecke [mm] \overline{AC} [/mm] senkrecht zur
Mittelsenkrechten dieser Strecke sein solle ?
Das ist natürlich unsinnig ! Mach dir das anhand
der Zeichnung klar. Die Mittelsenkrechte einer
Strecke muss zu dieser Strecke senkrecht stehen,
nicht zum Ortsvektor von irgendeinem ihrer Punkte !
> der mittelpunkt der seite [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] ist [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm]
>
> das ist der ortvektor der gerade.
Was soll das sein: "der Ortsvektor einer Geraden" ?
Eine Gerade besitzt unendlich viele Punkte, von denen
jeder einen eigenen Ortsvektor hat.
LG , Al-Chw.
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ok der schnittpunkt der mittelsenkrechten ist
[mm] \vektor{\bruch{17}{5} \\ \bruch{13}{5}}
[/mm]
und jetzt noch mal zu den höhengeraden:
die höhengerade von punkt C [mm] \vektor{0 \\ 4} [/mm] geht senkrecht zu der gegenüber liegenden seite. das wäre in diesem fall [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{-2 \\ -2}
[/mm]
die höhengerade [mm] \vec{d} [/mm] wäre dann [mm] \vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
somit hätte ich dann die geradengleichung:
g1: x= [mm] \vektor{0 \\ 4}+t \vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
habe ich die gradengleichung richtig gebildet?
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> ok der schnittpunkt der mittelsenkrechten ist
>
> [mm]\vektor{\bruch{17}{5} \\ \bruch{13}{5}}[/mm]
>
> und jetzt noch mal zu den höhengeraden:
> die höhengerade von punkt C [mm]\vektor{0 \\ 4}[/mm] geht
> senkrecht zu der gegenüber liegenden seite. das wäre in
> diesem fall [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}= \vektor{-2 \\ -2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> die höhengerade [mm]\vec{d}[/mm] wäre dann [mm]\vektor{-2 \\ 2}[/mm]
Dies ist nicht die Höhengerade, sondern einer der
vielen möglichen Richtungsvektoren davon !
> somit hätte ich dann die geradengleichung:
>
> g1: x= [mm]\vektor{0 \\ 4}+t \vektor{-2 \\ 2}[/mm]
>
> habe ich die gradengleichung richtig gebildet?
Ja. Ich würde aber eigentlich vorschlagen, die Gleichung
eher so zu schreiben:
[mm] $\pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0 \\ 4}+t \vektor{1 \\ -1}$
[/mm]
(wir rechnen hier ja ohnehin mit Vektoren mit zwei
Komponenten, und den Richtungsvektor kürzt man
sinnvollerweise, um nachher mit größerer Wahr-
scheinlichkeit ganzzahlige t-Werte zu erhalten)
LG , Al-Chw.
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Umkreis, Schnittpunkt der Mittelsenkrechten