schwache Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich möchte mal diese Frage hier, die ich leider selber nicht beantworten konnte, noch einmal aufgreifen, da mich die Antwort mittlerweile auch sehr interessiert.
Ich fasse es mal etwas allgemeiner:
In einem Banachraum $X$ kennt man ja aus der FA die schwache Konvergenz, also:
[mm] $f_n \stackrel{(w)}{\to} [/mm] f [mm] \quad \Leftrightarrow \quad \Phi(f_n) \to \Phi(f)$
[/mm]
für alle [mm] $\Phi \in [/mm] X'$, dem (topologischen) Dualraum von $X$.
Jetzt betrachten wir einen W-Raum [mm] $\Omega$ [/mm] und den Banachraum [mm] $L^p(\Omega)$ [/mm] für ein gewisses $p$ (Übergang zu den Äquivalenzklassen f.ü. gleicher Funktionen, wie üblich).
Wie bettet sich dann der funktionalanalytische schwache Konvergenzbegriff in die Abfolge der stochastischen Konvergenzbegriffe (Konvergenz f.ü., stochastische Konvergenz, [mm] $L^p$-Konvergenz, [/mm] Konvergenz in Verteilung) ein?
(Die Frage von Theodor bezog sich nur auf [mm] $(L^2)'=L^2$.)
[/mm]
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt, werde sie aber gegebenfalls bald auch auf dem Matheplaneten stellen (und dann hier auf die Diskussion verlinken).
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Di 01.11.2005 | | Autor: | theodor |
Hallo Stefan
inzwischen glaube ich, dass dieser Begriff der schwachen Konvergenz in der Tat nicht zu den üblichen Konvergenzarten der Stochastik passt. Ich kann es aber "nur" durch ein Beispiel belegen. Es genügt wohl, sich auf den Hilbertraum L2
einzuschränken.
Betrachte eine x-beliebige zentrierte i.i.d. Folge von ZV's (alle mit Erwartungswert Null), wobei das zweite Moment ungleich Null sei (z.B. eine i.i.d. Folge von Standardnormal N(0,1)-Variablen). Dann konergiert die Folge "schwach in L2" gegen Null! Dies lässt sich unschwer zeigen.
Hingegen konvergiert eine solche Folge naürlich nicht "fast sicher", geschweige "stochastisch", geschweige "in Verteilung" gegen Null. Immerhin konvergiert sie aber in Verteilung trivialerweise gegen die konstante Verteilung der Folgeglieder.
Ich schliesse daraus, dass sich die schwache Konvergenz im Sinne der FA nicht in die üblichen Konvergenzbegriffe einbetten lässt. Immerhin gilt folgendes:
Konvergiert eine Folge in Lp-Norm, dann auch "schwach in Lp".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Theodor!
Erst einmal vielen Dank für deine Antwort! 
> inzwischen glaube ich, dass dieser Begriff der schwachen
> Konvergenz in der Tat nicht zu den üblichen Konvergenzarten
> der Stochastik passt.
Ich bin davon noch nicht ganz überzeugt, daher stelle ich die Frage mal wieder auf "unbeantwortet". (Ich glaube es zwar auch, wie du, aber der Glaube allein überzeugt mich nicht so richtig...  ).
> Ich kann es aber "nur" durch ein
> Beispiel belegen. Es genügt wohl, sich auf den Hilbertraum
> L2
> einzuschränken.
Das sehe ich noch nicht, warum das genügt. Wie lässt sich die Argumentation für $p [mm] \ne [/mm] 2$ übertragen?
> Betrachte eine x-beliebige zentrierte i.i.d. Folge von ZV's
> (alle mit Erwartungswert Null), wobei das zweite Moment
> ungleich Null sei (z.B. eine i.i.d. Folge von
> Standardnormal N(0,1)-Variablen). Dann konergiert die Folge
> "schwach in L2" gegen Null! Dies lässt sich unschwer
> zeigen.
"Unschwer" ist relativ. Ich habe es mir jetzt mühselig mit der Besselschen Ungleichung überlegt. Wie kann man es denn direkter und einfacher sehen? Jedenfalls würde dann ja ganz explizit die Hilbertraumstruktur eingehen. Das beantwortet aber noch nicht meine Frage, warum die schwache Konvergenz in [mm] $L^p(\Omega)$ [/mm] für $p [mm] \ne [/mm] 2$ "keinen Sinn" in der Stochastik macht (sich also nicht in die üblichen Konvergenzbegriffe eingliedern lässt).
> Hingegen konvergiert eine solche Folge naürlich nicht "fast
> sicher", geschweige "stochastisch", geschweige "in
> Verteilung" gegen Null. Immerhin konvergiert sie aber in
> Verteilung trivialerweise gegen die konstante Verteilung
> der Folgeglieder.
Ja, das kann ich nachvollziehen.
Vielleicht kann mir ja jemand solche Gegenbeispiele und Erklärungen mit Nicht-Hilbertraum-Methoden liefern, das wäre super!
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Mi 02.11.2005 | | Autor: | theodor |
Was den Nachweis angeht, warum eine zentrierte i.i.d. Folge "schwach in [mm] L^2" [/mm] gegen Null konvergiert, hast du natürlich recht! "Unschwer" ist es auch für mich keineswegs . Und ohne den Gebrauch der Besselschen Ungleichung geht es wohl schlecht. Allerdings ist diese Ungleichung insofern elementar, als dass sie sich ohne weitere "Hammersätze" der Hilbertraumtheorie beweisen lässt. Der Beweis kann eigentlich wie im [mm] \IR^n [/mm] geführt werden.
Das Beispiel zeigt jedoch den praktischen Missstand der schwachen Konvergenz auf. Jeder Stochastiker würde doch subjektiv zurecht behaupten, jene Folge konvergiere in "keiner Weise" gegen Null. Etwa nicht??
Was "schwache Konvergenz in [mm] L^p", [/mm] p [mm] \not= [/mm] 2, angeht, sind wohl keine weiteren Wunder zu erwarten, SOFERN 1 [mm] \le [/mm] p< [mm] \infty. [/mm] Der Dualraum ist dann einfach der [mm] L^q, [/mm] wobei [mm] \bruch{1}{p}+ \bruch{1}{q}=1, [/mm] mit [mm] q=\infty, [/mm] falls p=1.
Wohl richtig interessant ist der Fall [mm] p=\infty. [/mm] Der zugehörige Dualraum ist dann mehr als bloss der [mm] L^1. [/mm] Was schwache Konvergenz in diesem Fall bedeutet, und ob sich dann ein Bezug z.B. zur stochastischen Konvergenz herstellen lässt, bleibt für mich offen. Ich bin eben kein FA Spezialist. Die FA knapp ausserhalb der elementaren Hilbertraumtheorie sprengt mein Hirn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Theodor!
> Was den Nachweis angeht, warum eine zentrierte i.i.d. Folge
> "schwach in [mm]L^2"[/mm] gegen Null konvergiert, hast du natürlich
> recht! "Unschwer" ist es auch für mich keineswegs . Und
> ohne den Gebrauch der Besselschen Ungleichung geht es wohl
> schlecht.
Gut, dann bin ich beruhigt, denn ich dachte schon, ich hätte hier etwas Wesentliches übersehen.
> Allerdings ist diese Ungleichung insofern
> elementar, als dass sie sich ohne weitere "Hammersätze" der
> Hilbertraumtheorie beweisen lässt. Der Beweis kann
> eigentlich wie im [mm]\IR^n[/mm] geführt werden.
Ja, das stimmt schon. "Elementar" ist es sicherlich, aber für mich, der sich in der FA nicht mehr so gut auskennt wie vor ein paar Jahren noch, eben dann doch nicht so einfach.
> Das Beispiel zeigt jedoch den praktischen Missstand der
> schwachen Konvergenz auf. Jeder Stochastiker würde doch
> subjektiv zurecht behaupten, jene Folge konvergiere in
> "keiner Weise" gegen Null. Etwa nicht??
Doch, da stimme ich dir zu. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Was "schwache Konvergenz in [mm]L^p",[/mm] p [mm]\not=[/mm] 2, angeht, sind
> wohl keine weiteren Wunder zu erwarten, SOFERN 1 [mm]\le[/mm] p<
> [mm]\infty.[/mm] Der Dualraum ist dann einfach der [mm]L^q,[/mm] wobei
> [mm]\bruch{1}{p}+ \bruch{1}{q}=1,[/mm] mit [mm]q=\infty,[/mm] falls p=1.
Ja, das ist mir zwar bekannt, aber dennoch sehe ich nicht direkt, wie sich das Beispiel für diese Fälle übertragen lässt. Intuitiv ist es mir irgendwie klar, aber ich wüsste nicht, wie ich es genau machen sollte.
> Wohl richtig interessant ist der Fall [mm]p=\infty.[/mm] Der
> zugehörige Dualraum ist dann mehr als bloss der [mm]L^1.[/mm] Was
> schwache Konvergenz in diesem Fall bedeutet, und ob sich
> dann ein Bezug z.B. zur stochastischen Konvergenz
> herstellen lässt, bleibt für mich offen.
Ja, das wäre wirklich interessant. Übrigens: Kennt man den Dualraum von [mm] $L^{\infty}$ [/mm] eigentlich explizit? Ich meine, ich weiß, dass er größer als [mm] $L^1$ [/mm] ist. Aber um wieviel größer eigentlich?
> Ich bin eben kein
> FA Spezialist. Die FA knapp ausserhalb der elementaren
> Hilbertraumtheorie sprengt mein Hirn
Das glaube ich nicht.
Liebe Grüße und Danke für deine Mühe
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe jetzt ![[]](/images/popup.gif) hier auf dem Matheplaneten diesen Thread verlinkt.
Liebe Grüße
Stefan
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