schwache Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 01.08.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo Forum,
Eine Frage:
Sei $\ T [mm] \in [/mm] L(X) $ ein kompakter Operator auf einem Banachraum und $\ [mm] x_n \to [/mm] x $ eine SCHWACH konvergente Folge. Dann soll ja gelten:
$\ [mm] T(x_n) \to [/mm] T(x) $ konvergiert stark.
Eine Frage zum Beweis: Zuerst folgt aus der schwachen Konvergent der Folge, dass sie beschränkt ist. Aus der Definition des kompakten Operators, kann ich also eine konvergente Teilfoge $\ [mm] Tx_{n_k} \to [/mm] y $ finden ( für $\ k [mm] \to \infty [/mm] $).
Nun folgt aus der schwachen Konvergenz der Folge $\ [mm] x_n \to [/mm] x $ doch auch die schwache Konvergenz der Folge $\ [mm] Tx_n \to [/mm] Tx $ da für alle stetigen Linearformen $\ l $, die Verknüpfung $\ l [mm] \circ [/mm] T $ wieder eine stetige Linearform ist. Stimmt diese Argumentation?
Da aus der starken Konvergenz die schwache folgt, und der schwache Grenzwert eindeutig ist, folgt ja $\ y = Tx$. Also ist $\ Tx $ ein Häufungspunkt der Fogle $\ [mm] Tx_n [/mm] $. Der letzte Schritt besteht nun darin zu zeigen, dass es nur einen Häufungspunkt geben kann. Dazu sei $\ z $ ein weiterer Häufungspunkt der Folge $\ [mm] Tx_n$. [/mm] Dann existiert eine Teilfolge $\ [mm] Tx_{n_k}$ [/mm] die gegen $\ z $ konvergiert. Nun das ist der Punkt an dem ich nicht weiterkomme: Jetzt wird argumentiert, dass daraus folgt, dass $\ [mm] x_{n_k} [/mm] $ schwach gegen $\ x $ konvergiert. Wieso gilt dies? Wenn das stimmt kann ich gleich wie oben argumentieren und erhalte, $\ z = y$.
Ich danke euch für die Beantwortung meiner Frage
mfg
KaloR
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Di 02.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forum,
>
> Eine Frage:
>
> Sei [mm]\ T \in L(X)[/mm] ein kompakter Operator auf einem
> Banachraum und [mm]\ x_n \to x[/mm] eine SCHWACH konvergente Folge.
> Dann soll ja gelten:
>
> [mm]\ T(x_n) \to T(x)[/mm] konvergiert stark.
>
> Eine Frage zum Beweis: Zuerst folgt aus der schwachen
> Konvergent der Folge, dass sie beschränkt ist. Aus der
> Definition des kompakten Operators, kann ich also eine
> konvergente Teilfoge [mm]\ Tx_{n_k} \to y[/mm] finden ( für [mm]\ k \to \infty [/mm]).
> Nun folgt aus der schwachen Konvergenz der Folge [mm]\ x_n \to x[/mm]
> doch auch die schwache Konvergenz der Folge [mm]\ Tx_n \to Tx[/mm]
> da für alle stetigen Linearformen [mm]\ l [/mm], die Verknüpfung [mm]\ l \circ T[/mm]
> wieder eine stetige Linearform ist. Stimmt diese
> Argumentation?
Ja
>
> Da aus der starken Konvergenz die schwache folgt, und der
> schwache Grenzwert eindeutig ist, folgt ja [mm]\ y = Tx[/mm]. Also
> ist [mm]\ Tx[/mm] ein Häufungspunkt der Fogle [mm]\ Tx_n [/mm]. Der letzte
> Schritt besteht nun darin zu zeigen, dass es nur einen
> Häufungspunkt geben kann. Dazu sei [mm]\ z[/mm] ein weiterer
> Häufungspunkt der Folge [mm]\ Tx_n[/mm]. Dann existiert eine
> Teilfolge [mm]\ Tx_{n_k}[/mm] die gegen [mm]\ z[/mm] konvergiert. Nun das ist
> der Punkt an dem ich nicht weiterkomme: Jetzt wird
> argumentiert, dass daraus folgt, dass [mm]\ x_{n_k}[/mm] schwach
> gegen [mm]\ x[/mm] konvergiert.
Deine Frage ist schon komisch. Ausgegangen sind wir die ganze Zeit von eine Folge [mm] (x_n), [/mm] die schwach gegen x konvergiert.
Dann konvergiert jede Teilfolge von [mm] (x_n) [/mm] ebenfalls schwach gegen x.
FRED
> Wieso gilt dies? Wenn das stimmt
> kann ich gleich wie oben argumentieren und erhalte, [mm]\ z = y[/mm].
>
> Ich danke euch für die Beantwortung meiner Frage
>
> mfg
>
> KaloR
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 So 07.08.2011 | | Autor: | kalor |
Meine Frage war nicht richtig gestellt, entschuldige! Bis jetzt weiss ich ja nur, dass $\ [mm] Tx_{n_k} \to [/mm] y $ und das dies ein Häufungspunkt der Folge $\ [mm] (Tx_n) [/mm] $ ist, genauer der einzige Häufungspunkt. Wieso kann ich aber daraus die Konvergenz der ganzen Folge $\ [mm] (Tx_n) \to [/mm] y $ schliessen?
mfg
KaloR
|
|
|
| |
|
> Meine Frage war nicht richtig gestellt, entschuldige! Bis
> jetzt weiss ich ja nur, dass [mm]\ Tx_{n_k} \to y[/mm] und das dies
> ein Häufungspunkt der Folge [mm]\ (Tx_n)[/mm] ist, genauer der
> einzige Häufungspunkt. Wieso kann ich aber daraus die
> Konvergenz der ganzen Folge [mm]\ (Tx_n) \to y[/mm] schliessen?
>
Ich würde es mit einem Widerspruchs-Argument versuchen. Nimm an, die Folge konvergiert nicht gegen y (Definition hinschreiben). Dann gibt es ein [mm] \epsilon, [/mm] so dass eine Teilfolge [mm] Tx_{n_i} [/mm] ausserhalb von [mm] B_\epsilon(y) [/mm] liegt. Aufgrund der Kompaktheit von T muss sich diese Folge aber wieder irgendwo häufen. Widerspruch dazu, dass y der einzige HP ist!
Gruss
Matthias
> mfg
>
> KaloR
|
|
|
|
