schwierige Suche nach Wert < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Funktion b ist in einem Intervall von a[mm]\le[/mm]x[mm]\le[/mm]b stetig differenzierbar. In diesem Intervall gilt:
h(x)[mm]>[/mm]0, erste Ableitung von h(x)>0 und h(a)=9.
Eine Funktion g ist gegeben durch
g(x)=[mm]\bruch{erste Ableitung von h(x)}{\wurzel{h(x)}}[/mm]; a[mm]\le[/mm]x[mm]\le[/mm]b.
Das Schaubild von g schließt mit der x-Achse sowie mit den Geraden x=a und x=b eine Fläche mit dem Inhalt 4 ein.
Berechnen Sie h(b). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Entschuldigung...aber ich habe keinen blassen, was man hier von uns Schülern verlangt...nicht einmal einen Ansatz.
Danke.
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Aufgabe siehe oben... |
Bis zum Substituieren bin ich gekommen.
u=h(x) [mm]\Rightarrow[/mm] u'=h'(x)
da u'=du/dx [mm]\Rightarrow[/mm] umgestellt nach dx=du/u'
laut Tafelwerk ist die Substitutionsregel:
[mm]\integral_{a}^{b}{f(u) du}[/mm]=[mm]\integral_{a}^{b}{f[g(x)]*g'(x) dx}[/mm]
für mich bedeutet dass, ich nehme die Funktion g(x) (die in der Aufgabe gegeben ist) und setze dafür u ein anstatt h(x)...dann kann ich auch dx einsetzen, was ja du/u' ist...
Duch meine Mitschüler weiß ich, dass ich das so machen soll, denn dann kürzt sich u' raus (oder halt h'(x))...übrig bleibt dann
[mm] \bruch{1}{(u)^1/2}[/mm]du .
Das dann integrieren, rücksubstitutieren und raus kommt h(b)=25.
Meine Frage: laut Substitutionsregel fehlt doch noch das in der Formel kommende ...*g'(x)...
Fällt das weg oder was passiert damit? Bisher habe ich doch nur f[g(x)] eingesetzt und dx..nicht aber g'(x)...
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Eric,
> laut Tafelwerk ist die Substitutionsregel:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(u) du}[/mm]=[mm]\integral_{a}^{b}{f[g(x)]*g'(x) dx}[/mm]
Fast. Damit wir nicht mit den beiden Funktionen g(x) durcheinanderkommen, schreib ich die Regel noch einmal mit richtigen Grenzen und [mm] $\Phi(x)$ [/mm] statt $g(x)$ auf:
[mm]\integral_{\Phi(a)}^{\Phi(b)}{f(t) \, dt}=\integral_{a}^{b}{f(\Phi(x)) \cdot \Phi'(x) \, dx}[/mm]
> Meine Frage: laut Substitutionsregel fehlt doch noch das in
> der Formel kommende ...*g'(x)...
>
> Fällt das weg oder was passiert damit? Bisher habe ich doch
> nur f[g(x)] eingesetzt und dx..nicht aber g'(x)...
Doch. Aber ganz vorsichtig mit den Notationen:
Es gilt:
[mm]f(t)=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm]
und
[mm]\Phi(x)=h(x)[/mm].
Nun gilt (nur so ausführlich aufgeschrieben, damit du siehst, wie die Substitutionsregel genau eingeht):
[mm]\int_a^b \bruch{h'(x)}{\wurzel{h(x)}}\, dx=\int_a^b \bruch{1}{\wurzel{\Phi(x)}}\cdot \Phi'(x)\, dx=\int_a^b f(\Phi(x)) \cdot \Phi'(x) \, dx = \int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)} f(t) \, dt= \int_{h(a)}^{h(b)} f(t) \, dt[/mm]
Macht es das klarer? Sonst versuche dein Problem noch einmal zu erklären. 
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
| |
|
Ich glaub ich habs verstanden...
für mich nochmal: zum Schluss ist die Formel soweit umgeformt, dass ich für die Phi von x wieder die Substitution f(t) einsetzen kann...da vorher festgelegt war, dass f(t)=1/(t)^(1/2) ist dass dann die zu integrierende Funktion und schwuppdiwupp bin ich am Ziel...
Ob ich wirklich Mathematik später studieren sollte??? Wenn ich hier schon ablooooose?
Aber Danke Astrid!!!
DANKE DANKE DANKE!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Do 23.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Guten Morgen ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]") Eric,
natürlich ist das Substituieren an sich nicht so kompliziert, wie es in meiner Antwort aussieht. Ich habe nur versucht, dir zu zeigen, wo genau die Regel eingeht.
Eigentlich hast du hier folgende Situation:
Du möchtest eine Funktion von [mm]h(x)[/mm] multipliziert mit der Ableitung [mm]h'(x)[/mm] bzgl. [mm]dx[/mm] integrieren, genauer gesagt hier [mm]\bruch{1}{\wurzel(h(x))}\cdot h'(x)[/mm] bzgl [mm]dx[/mm]. Hier ist also diese Funktion [mm]f(t)=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm].
Dann gehst du wie üblich vor:
Ersetze [mm]h(x)[/mm] durch [mm]u[/mm] und entsprechend [mm]dx[/mm] und die Grenzen. Dann hast du ein Integral bzgl. [mm]du[/mm] und du kannst viel leichter integrieren.
> für mich nochmal: zum Schluss ist die Formel soweit
> umgeformt, dass ich für die Phi von x wieder die
> Substitution f(t) einsetzen kann...da vorher festgelegt
> war, dass f(t)=1/(t)^(1/2) ist dass dann die zu
> integrierende Funktion und schwuppdiwupp bin ich am
> Ziel...
So ganz verstehe ich deine Frage nicht, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ...
> Ob ich wirklich Mathematik später studieren sollte???
Ach, im Mathestudium wirst du keine Integrale ausrechnen müssen, oder zumindest nur ganz wenige. Ich habe die ersten zwei Jahre meines Studiums auch keinen Taschenrechner gebraucht.
Das wichtigste ist in meinen Augen, dass du dich für Mathematik interessierst, gern über mathematische Probleme nachdenkst und Spaß an abstrakten Ideen hast. Und viel viel Durchhaltevermögen. Dafür wird man auch belohnt mit dem Gefühl, Aufgaben "geknackt" zu haben.
Im Grundstudium wird der Stoff der Oberstufe noch einmal komplett neu aufgerollt und du wirst all das aus einer ganz anderen Perspektive sehen. Trägst du dich ernsthaft mit dem Gedanken, Mathe zu studieren? Wo denn?
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
|
