seitenhalbierende 1:2 beweisen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 27.02.2011 | | Autor: | susi111 |
wir sollen beweisen, dass sich die drei seitenhalbierenden in einem punkt S schneiden und dabei die einzelnen strecken im verhältnis von 1:2 schneiden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
wir sollen es mit vektoren beschreiben, also uns vorstellen dass das dreieck im raum liegt.
ich hab aber überhaupt keine idee wie ich beweisen kann, dass sie sich im verhältnis von 1:2 schneiden...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo susi111,
> wir sollen beweisen, dass sich die drei seitenhalbierenden
> in einem punkt S schneiden und dabei die einzelnen strecken
> im verhältnis von 1:2 schneiden.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> wir sollen es mit vektoren beschreiben, also uns vorstellen
> dass das dreieck im raum liegt.
>
> ich hab aber überhaupt keine idee wie ich beweisen kann,
> dass sie sich im verhältnis von 1:2 schneiden...
Suche Dir zunächst ein geeigenetes Vektoreck aus.
Günstigerweise ist das das Vektoreck ABC.
Stelle dann die Vektoren [mm]\overrightarrow{AS}, \ \overrightarrow{BS}[/mm]
als Linearkombination der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}[/mm] dar.
Setze das in die Gleichung
[mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{0}[/mm]
ein und führe diese Gleichung auf die
lineare Unabhängigkeit von [mm]\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}[/mm] zurück.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 27.02.2011 | | Autor: | susi111 |
Hallo MathePower
vielleicht bin ich doof, aber ich hab keine ahnung, was du meinst...
>
> Suche Dir zunächst ein geeigenetes Vektoreck aus.
>
> Günstigerweise ist das das Vektoreck ABC.
>
was ist ein vektoreck? wieso ist ABC am günstigsten?
> Stelle dann die Vektoren [mm]\overrightarrow{AS}, \ \overrightarrow{BS}[/mm]
>
> als Linearkombination der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}[/mm]
> dar.
>
was ist eine linearkombination?
> Setze das in die Gleichung
>
> [mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{0}[/mm]
>
wieso muss das null ergeben?
> ein und führe diese Gleichung auf die
> lineare Unabhängigkeit von [mm]\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}[/mm]
> zurück.
>
was ist eine lineare unabhängigkeit?
>
> Gruss
> MathePower
ich weiß gar nicht was ich machen soll und was ich rausbekommen würde... kannst du mir das bitte nochmal erklären?
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Hallo susi111,
> Hallo MathePower
>
> vielleicht bin ich doof, aber ich hab keine ahnung, was du
> meinst...
> >
> > Suche Dir zunächst ein geeigenetes Vektoreck aus.
> >
> > Günstigerweise ist das das Vektoreck ABC.
> >
> was ist ein vektoreck? wieso ist ABC am günstigsten?
ABC ist das gegebene Dreieck.
Ich meinte hier natürlich das Dreieck ABS.
Das ist deshalb am günstigsten, weil sich
hier die geometrischen Überlegungen einfacher
veranschaulichen lassen.
Ein Vektoreck ist ein geschlossenes n-Eck,
wobei jeder Linie eine Richtung durch einen
Pfeil zugewiesen wird.
>
> > Stelle dann die Vektoren [mm]\overrightarrow{AS}, \ \overrightarrow{BS}[/mm]
>
> >
> > als Linearkombination der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}[/mm]
> > dar.
> >
> was ist eine linearkombination?
>
Jede beliebige Kombination von 2 oder mehr Vektoren.,
> > Setze das in die Gleichung
> >
> >
> [mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{0}[/mm]
> >
> wieso muss das null ergeben?
Weil es sich um ein geschlossene n-Eck handelt.
>
> > ein und führe diese Gleichung auf die
> > lineare Unabhängigkeit von [mm]\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}[/mm]
> > zurück.
> >
> was ist eine lineare unabhängigkeit?
Zwei Vektoren sind linear unabhängig,
wenn diese Vektoren keine Vielfache voneinander sind.
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> ich weiß gar nicht was ich machen soll und was ich
> rausbekommen würde... kannst du mir das bitte nochmal
> erklären?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
> >
> > > Stelle dann die Vektoren [mm]\overrightarrow{AS}, \ \overrightarrow{BS}[/mm]
>
wie soll ich den [mm] \vec{AS} [/mm] bzw. [mm] \vec{BS} [/mm] denn beschreiben? ich weiß doch nicht wo S liegt. ich kann nur sagen, dass AS [mm] \bruch{2}{3} [/mm] von A zu [mm] M_{BC} [/mm] ist...
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Hallo susi111,
> > >
> > > > Stelle dann die Vektoren [mm]\overrightarrow{AS}, \ \overrightarrow{BS}[/mm]
>
> >
> wie soll ich den [mm]\vec{AS}[/mm] bzw. [mm]\vec{BS}[/mm] denn beschreiben?
> ich weiß doch nicht wo S liegt. ich kann nur sagen, dass
> AS [mm]\bruch{2}{3}[/mm] von A zu [mm]M_{BC}[/mm] ist...
>
Du kennst aber die Punkte a bzw. b,
die die Seitenmitten der Seiten BC bzw. AC sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Mo 28.02.2011 | | Autor: | susi111 |
um AS herauszufinden:
ich weiß dass der vektor von [mm] M_{BC}={0,5(\vec{b}+\vec{c})}ist.
[/mm]
vektor von A ist [mm] \vec{a}.
[/mm]
von A nach [mm] M_{BC} [/mm] ist es also [mm] 0,5(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}
[/mm]
jetzt kenn ich den vektor von S aber immer noch nicht, damit ich AS rausfindne könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielleicht mal als Hilfe für [mm] \overrightarrow{AS}:
[/mm]
Du willst ja zeigen, dass [mm] \overrightarrow{AS}=x*\overrightarrow{AM_{BC}} [/mm] ist, wobei du für x am Ende [mm] \bruch{2}{3} [/mm] erhalten willst.
Weiterhin gilt [mm] \overrightarrow{AM_{BC}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM_{BC}}=\overrightarrow{AB}+\bruch{1}{2}*\overrightarrow{BC}.
[/mm]
Jetzt musst du noch [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] durch [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ausdrücken (was aber nicht so schwierig ist) und dann hast du [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] nur durch die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] ausgedrückt. Mit [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] machst du das gleiche, funktioniert genau so! Nur, dass du dann eine neue Variable einführen solltest, also [mm] \overrightarrow{BS}=y*... [/mm] (für y wirst du am Ende auch [mm] \bruch{2}{3} [/mm] erhalten wollen).
[mm] \overrightarrow{BS} [/mm] drückst du dann wieder durch [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] aus und dann setzt du alles, wie schon gesagt, in [mm] \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{0} [/mm] ein.
Nun hast du einen Ausdruck [mm] (...)*\overrightarrow{AB}+(...)*\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} [/mm] da zu stehen. Es gilt ja, dass [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] linear unabhängig sind (das hattet ihr sicher schon mal irgendwo erklärt!), also was muss für die (...)-Faktoren gelten, damit der Nullvektor da rauskommen kann?
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