selbstadjungiert/invertierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 21.05.2005 | | Autor: | marymary |
Hallihallo!
Ich knabbere gerade an einer Aufgabe und komme nich weiter. Bitter helft mir:
Eine komlexe nxn-Matrix A sei selbstadjungiert.
zu zeigen ist, dass 1 +iA und 1-iA invertierbar sind.
Mein Ansatz? Nun, nicht viel bisher:
- Invertierbar heißt: [mm] AA^{-1}=A^{-1}A=0 [/mm]
-aus A selbstadjungiert folgt, dass A diagonalisierbar ist, alle Eigenwerte real sind und es eine Othonormalbasis aus Eugenverktoren gibt und, dass
[mm] A= \overline{A}^{t} [/mm] gilt (also A konjugiert transponiert).
Ich habe jetzt mal versucht (1-iA)X=0 umzuformulieren, aber das hat zu nichts geführt (zumindest bisher)
Und als Tipp hatte ich gesagt bekommen, ich soll mir überleben, was die Eigenwerte von 1-iA sind, aber da habe ich keine Idee zu....
Danke im Voraus für's Helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wenn $A$ selbstadjungiert ist, dann hat $A$ nur reelle Eigenwerte.
Daher gilt für das charakteristische Polynom [mm] $CP_A(t)$:
[/mm]
[mm] $CP_A(i) \ne [/mm] 0$
und
[mm] $CP_A(-i)\ne [/mm] 0$.
Und jetzt überlege mal, was das mit [mm] $\det(1+iA)$ [/mm] und [mm] $\det(1-iA)$ [/mm] zu tun haben könnte...
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich klink mich jetzt einfach mal ein, da ich dasselbe Problem habe und die Antwort nicht so ganz versteh.
Zuerst ne Verständnisfrage zur Aufgabe: diese 1 soll das die Identität sein, oder wie ist das zu verstehen?
Also, dass [mm] CP_{A}(i) \not= [/mm] 0 ist ist mir klar.
Aber wie ich das für die Aufgabe verwenden soll, versteh ich nicht:
Laut Definition gilt ja [mm] CP_{A}(x)= [/mm] det (xI-A)
Wenn ich jetzt hier für x=i einsetze dann hab ich [mm] CP_{A}(i)=(iI-A)
[/mm]
Und das bringt mich doch nicht weiter, da das i doch vor dem A stehen sollte, oder hab ich da irgendwas falsch verstanden?
Dann hab ich noch ne Frage:
Wenn A diagonalisierbar ist, dann ist ja A ähnlich zu ner Diagonalmatrix D mit den (hier reellen) Eigenwerten auf der Diagonalen.
Da draus kann ich doch schließen, dass iA ähnlich zu iD ist.
Problem: Kann ich draus schließen, dass dann 1+iA ähnlich zu 1+iD ist?
Damit käme ich nämlich dann weiter.
Aber ich fürchte, dass ich das nicht darf.
Viele Grüße
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 22.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Annette,
> Ich klink mich jetzt einfach mal ein, da ich dasselbe
> Problem habe und die Antwort nicht so ganz versteh.
> Zuerst ne Verständnisfrage zur Aufgabe: diese 1 soll das
> die Identität sein, oder wie ist das zu verstehen?
ja, 1=E=Einheitsmatrix
> Also, dass [mm]CP_{A}(i) \not=[/mm] 0 ist ist mir klar.
> Aber wie ich das für die Aufgabe verwenden soll, versteh
> ich nicht:
> Laut Definition gilt ja [mm]CP_{A}(x)=[/mm] det (xI-A)
> Wenn ich jetzt hier für x=i einsetze dann hab ich
> [mm]CP_{A}(i)=(iI-A)[/mm]
du hast gut aufgepasst - ich weiß nicht, ob Stefan sich richtig an die definition des Char-Poly erinnert hat, als er das geschrieben hatte, aber man kann seinen Gedanken retten bzw ergänzen, wenn man die Matrix $ (iI-A) $ mit i multipliziert
[es ist unwichtig, ob det(A-xI) oder det(xI-A) - warum ?]
was ist $ [mm] \det(\lamda [/mm] *B ) $ ?
was folgt dann für gerades bzw. ungerades n=dim A , wenn wie $ [mm] \lambda [/mm] =i $ nehmen ? (uns interessiert nur, ob det(..)=0 oder nicht, denn das ist Kriterium für Invertierbarkeit)
ich hoffe, dass ich mich jetzt nicht zu sehr auf Stefan verlassen habe und dass ich meinen Kaffee gleich ohne schlechtes Gewissen trinken kann (wenn ich all diese Gedanken bis zum Ende denken werde)
hoffentlich hilft's
btw: ich setze den Status der Ausgangsfrage mal auf beantwortet, weil ja eine Rückfrage hier noch unbeantwortet ist (lasse ich auch so, damit jemand auch meine Gedanken bestätigt oder nicht)
[sonst geht die Übersicht oben in der Fragen-Liste verloren]
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 22.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Also danke erst mal.
Ich hab das jetzt mal zum Teil versucht anzuwenden.
Also es gilt ja [mm] CP_{A}(i)=det(iI-A) \not=0 [/mm] da i kein Eigenwert von A
Es gilt doch auch [mm] -iCP_{A}(x)=-i [/mm] det(xI-A)
Daraus folgt doch: [mm] -iCP_{A}(i)=-idet(iI-A)=det(I+iA) \not=0
[/mm]
Und damit ist I+iA=1+iA invertierbar.
Kann ich das so machen?
Viele Grüße
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 So 22.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Vielen Dank,
da hab ich mit den Regeln für die Determinante nicht aufgepasst....
Aber jetzt ist mir alles klar,
für 1-iA kann man das ja sehr ähnlich machen.
Also noch mal Danke. Hat mir sehr geholfen.
Viele Grüße
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 So 22.05.2005 | | Autor: | marymary |
Hi ihr beiden,
danke auch meinerseits. Jetzt habe ich auch durchgeschaut.
Und für I-iA ist's ja fast genau das gleiche, also
[mm] det(I-iA)=i^{n} det(-iI-A)=i^{n} det CP_{A}(-i) [/mm] und damit auch ungleich 0.
Marie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 21.05.2005 | | Autor: | marymary |
Hallo Stefan!
Danke für die schnelle Antwort!
Also ich sie überflogen habe, schien mir die Lösung klar zu sein:
Die Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] bis [mm] \lambda_{n} [/mm] sind alle real, deshalb ist in folgendem Ausdruck jede Klammer ungleich Null und somit der ganze Ausdruck ungleich Null:
[mm] CP _{A}( \pm i) =det(\pm iI-A)=(\pm i- \lambda_{1})(\pm i- \lambda_{2}) \ldots(\pm i - \lambda_{n}) [/mm] gilt.
Und dann kam ich aber doch nicht mehr weiter:
Wie komme ich von der obigen Aussage dazu, dass auch det(1+iA)=0 ist, denn das lässt sich ja nicht so schön durch die Eigenwerte darstellen?!?
Der Rest ist danach klar: Wenn [mm] det(1 \pm iA) \not= 0 [/mm], dann ist [mm] 1 \pm iA [/mm] invertierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 22.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Mary,
schaust du mal bei den anderen Antworten, ob dir das dort klar ist?
btw:
> [mm]CP _{A}( \pm i) =det(\pm iI-A)=(\pm i- \lambda_{1})(\pm i- \lambda_{2}) \ldots(\pm i - \lambda_{n})[/mm]
Das würde nur stimmen, wenn A schon Diagonalgestalt hat - aber das meintest du wohl, dass es nicht mehr so schön mit den Eigenwerten geht, odeR?
viele Grüße
DaMenge
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
- Ähm, ja, weil det(B) ungleich 0 deshalb ist B invertierbar 
Ich habe solche Fragen hier schon so oft beantwortet, dass es ziemlich seltsam wäre, würde ich plötzlich so elementare Definitionen vergessen.
