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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 So 30.10.2005 | | Autor: | bobby |
Bei der folgenden Aufgabe komm ich nicht so recht weiter,so schwer kann das nicht sein, aber mir fehlt die zündende Idee...
Sei M eine Menge und E eine sigma-Algebra darauf. A [mm] \in [/mm] E heißt Atom, falls A [mm] \not= \emptyset [/mm] und es kein B [mm] \in [/mm] E gibt mit B [mm] \subset [/mm] A und [mm] \emptyset\not=B\not=A.
[/mm]
Zeige:
a) Zwei verschiedene Atome sind disjunkt.
b) Ist M höchstens abzählbar, so existiert zu jedem w [mm] \in [/mm] M genau ein Atom A(w) mit w [mm] \in [/mm] A(w).
E ist die Menge aller Vereinigungen seiner Atome.
Kann mir da jemand helfen?
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Hallo bobby,
> Sei M eine Menge und E eine sigma-Algebra darauf. A [mm]\in[/mm] E
> heißt Atom, falls A [mm]\not= \emptyset[/mm] und es kein B [mm]\in[/mm] E
> gibt mit B [mm]\subset[/mm] A und [mm]\emptyset\not=B\not=A.[/mm]
> Zeige:
> a) Zwei verschiedene Atome sind disjunkt.
Seien C, D zwei Atome in E. Angenommen, [mm]C \cap D =: F \not= \emptyset[/mm]. Da [mm]C,D \in E[/mm] und E [mm]\sigma-[/mm]Algebra, liegt auch der Schnitt F in der [mm]\sigma-[/mm]Algebra. Das heißt wir haben ein [mm]F \subset C[/mm] mit [mm]F \in E[/mm] und [mm]\emptyset \not= F \not= C[/mm]. Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass C ein Atom ist! Also gilt [mm]C \cap D = \emptyset[/mm].
> b) Ist M höchstens abzählbar, so existiert zu jedem w [mm]\in[/mm]
> M genau ein Atom A(w) mit w [mm]\in[/mm] A(w).
Kann man hier nicht einfach A(w):=w setzen, wenn w ein Elementarereignis bezeichnet?
mfg
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Setze
[mm] $A(\omega) [/mm] := [mm] \bigcap\limits_{B \in {\cal A}\, : \, \omega \in B} [/mm] B [mm] \in {\cal A}$.
[/mm]
Zu Daniel: Nein, kann man nicht, da nicht sicher ist, dass [mm] $\{\omega\} \in {\cal A}$ [/mm] gilt (auch wenn die Menge abzählbar ist, muss die Potenzmenge nicht die zugrundeliegende [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] sein...).
Liebe Grüße
Stefan
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Ich bin zwar nicht der Autor dieser Frage, aber ich hab genau das selbe Problem.
A habe ich ja verstanden, aber was bei b) gemeint ist, hab ich nicht wirklich einen Durchblick. Da ich es aber gerne wüsste, würde ich mich freuen, wenn sich noch jemand die Zeit nehmen würde es mir zu erklären!
Schönen Abend noch!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Man bildet einfach den Durchschnitt über alle messbaren Mengen, die [mm] $\omega$ [/mm] enthalten. Dieser (abzählbare) Durchschnitt ist dann wieder messbar; und nach Konstruktion die kleinste messbare Menge, die [mm] $\omega$ [/mm] enthält (denn jede andere messbare Menge, die [mm] $\omega$ [/mm] enthält, "hat sich ja an dem Durchschnitt beteiligt").
Liebe Grüße
Stefan
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