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| Aufgabe | was ist die sylvestersche normalform bzw. die signatur von
[mm] \vec{x} \pmat{ 3 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 5 \\ 6 & 5 & 7} \vec{y} [/mm] (y transponiert) |
hallo leute,
die sylvestersche normalform ist eine 3x3 diagonalmatrix wo die einträge in der hauptdiagonalen 1en -1en und nullen stehen entsprechend der vielfachheit der positiven/negativen eigenwerte.
wenn ich jetzt die signatur definiere:(a,b,c)
a=anzahl der positiven eigenwerte
b=anzahl der negativen eigenwerte
c=rang der matrix
im buch steht nun,damit man die signatur ausrechnen kann ,soll man die matrix auf diagonalform umwandeln.
meine frage ist nun: bei der klausur habe ich sie aus versehen nur auf dreiecksform gebracht.diese dreiecksmatrix hat doch wohl die gleichen eigenwerte wie die daraus umgewandelte diagonalmatrix?deswegen kann ich die signatur doch auch von einer dreiecksmatrix ablesen oder?
die sylvestersche normalform ergibt sich dann automatisch.
es gab 5 punkte für die aufgabe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> meine frage ist nun: bei der klausur habe ich sie aus
> versehen nur auf dreiecksform gebracht.diese dreiecksmatrix
> hat doch wohl die gleichen eigenwerte wie die daraus
> umgewandelte diagonalmatrix?
Nein. Wie kommst du darauf?
Betrachte doch z.B. die Matrix
[mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1}$
[/mm]
die zugehörige Dreiecksmatrix
[mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0}$
[/mm]
und die zugehörige Diagonalform
[mm] $\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
Vielleicht verwechselst du das mit dem symmetrischen Gauß-Algorithmus.
Gruß, Robert
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hi robert ,wie kommst du denn auf die diagonalmatrix,das geht doch nicht mit zeilenumformungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> hi robert ,wie kommst du denn auf die diagonalmatrix,das
> geht doch nicht mit zeilenumformungen?
Richtig, Die Matrix wurde durch Basistransformation diagonalisiert. Bei symmetrischen Ausgangsmatrizen geht das immer (Spektralsatz). Auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte der ursprünglichen Matrix, und die unterscheiden sich offensichtlich von den Eigenwerten der Dreiecksmatrix.
Gruß, Robert
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die diagonalmatrix sieht hier so aus: [mm] \pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
die dreiecksmatrix:
[mm] \pmat{ 6 & 5 & 7 \\ 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
diese matrizen haben und müssen zuimindest die gleichen vielfachheiten an positiven/negativen eigenwerten haben.auch müssen sie den gleichen rang haben.
hab ich jetzt was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> die diagonalmatrix sieht hier so aus: [mm]\pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> die dreiecksmatrix:
> [mm]\pmat{ 6 & 5 & 7 \\ 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> diese matrizen haben und müssen zuimindest die gleichen vielfachheiten an positiven/negativen eigenwerten
> haben.auch müssen sie den gleichen rang haben.hab ich jetzt was falsch gemacht?
Beim Gauß-Algorithmus darfst du doch beliebig Zeilen mit -1 multiplizieren. Es ist Zufall, dass deine Dreiecksmatrix dieselbe Anzahl an pos./neg. Diagonaleinträgen hat.
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hallo merle,ich verstehe nicht warum das zufall ist.da doch unter der diagonalen nur nullen stehen ,kann ich doch immer das lamdafache der unteren zeile zur oberen addieren.aber das lamdafache von null wird doch immer null bleiben,weswegen ich das immer so machen kann ,ohne ein vorzeichen auf der hauptdiagonalen ändern zu müssen?
irgendwie verstehe ich immer noch nicht .
ich denke,dass man jede dreiecksmatrix mit vollem rang auf diagonalform bringen kann,ohne ,dass das vorzeichen eines elementes auf der diagonalen
geändert werden muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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zumindest sind hier die vielfachheiten der positiven/negativen eigenwerte und der rang gleich.das ist eigentlich meine frage.diese werte unterscheiden sich ja nicht ob dreiecksmatrix oder diagonalmatrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> zumindest sind hier die vielfachheiten der
> positiven/negativen eigenwerte und der rang gleich.das ist
> eigentlich meine frage.diese werte unterscheiden sich ja
> nicht ob dreiecksmatrix oder diagonalmatrix?
Doch, tun sie. Die Dreiecksmatrix, welche du mit Hilfe des Gauß-Algorithmus erhälst, gibt dir nur Auskunft über den Rang der Matrix, also über die Dimension des Eigenraumes zum EW Null.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Es gäbe vielleicht eine Möglichkeit dein Argument zu retten, wenn auch etwas eingeschränkt.
Beim Gauß-Algorithmus gibt es drei mögliche Umformungen:
1) Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null.
2) Vertauschen von zwei Zeilen.
3) Addition des [mm] \lambda-fachen [/mm] einer Zeile zu einer anderen.
Wenn wir jetzt die Determinante einer Matrix betrachten, dann ändert sie sich bei 1) auch entsprechend, bei 2) ändert sie ihr Vorzeichen und bei 3) bleibt sie gleich.
Ausserdem ist die Determinante von ähnlichen Matrizen gleich, d.h. wenn du eine Matrix in Diagonalform bringst, dann hat die Diagonalmatrix dieselbe Determinante.
Wenn du jetzt also beim Gauß-Algorithmus die Matrix auf Dreiecksform bringst, dann ist ja die Determinante dieser Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonaleinträge. Wenn du die Änderungen, welche ich oben beschrieben habe, miteinbeziehst, dann hast du die Determinante der ursprünglichen Matrix.
Somit hast du eine Möglichkeit mit Hilfe des Gauß-Algorithmuses die Möglichkeiten der Vielfachheiten von positiven und negativen EW einzugrenzen (sofern deine Matrix aber größer als [mm]3 \times 3[/mm] ist, hast du trotzdem noch viel zu viele Möglichkeiten offen).
Beispiel: Wenn du auf eine positive Determinante kommst bei einer [mm]3 \times 3[/mm] Matrix, dann hast du entweder drei positive EW oder einen positiven und zwei negative. Die anderen Möglichkeiten kannst du ausschließen.
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