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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:42 Do 23.09.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | Für die Matrix H [mm] \in [/mm] Mat(n, n;C) gelte [mm] H^2 [/mm] = 2E.
Zeigen Sie: H und H + E sind simultan diagonalisierbar. Welche Eigenwerte kann die Matrix (H + E) haben? |
Hallo, ich grübel hier an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter.
Was ich bisher habe ist folgendes:
Also [mm] H^2=2E [/mm] bedeutet ja,dass [mm] H^2-2E=0 [/mm] also [mm] f=x^2-2
[/mm]
und f(H)=0 dann sind die Eigenwerte v=wurzel(2) und w=-wurzel(2)
simultan diagbar beutet , dass H*(H+E)=(H+E)*H und es gibt ein C sodass
[mm] C^-^1*H*C=D_{1} [/mm] und [mm] C^-^1*(H+E)*C=D_{2}
[/mm]
Doch was mache ich jetzt damit??
Danke für alle Antworten im voraus.
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Ich hoffe das es so geht:
Es gilt: "Zwei diagonalisierbare Endomorphismen sind genau dann simultan diagonalisierbar, fallssie kommutieren."Also
[mm]H(H+E)=H^2+H=H+H^2=(E+H)H[/mm]Also kommutieren sie beide!
Nun zum Eigenwert von H+E
Du hast herausgefunden, das H diagonalisierbar ist. Also[mm]S^{-1}HS=D_1[/mm]Ebenfalls gilt [mm]D_2=S^{-1}(H+E)S[/mm][mm]D_2=S^{-1}HS+S^{-1}ES=S^{-1}HS+E=D_1+E[/mm]Was sagt das dir über die Eigenwerte aus?
Ich bin mir unsicher, ob noch zu zeigen ist, das (H+E) diagonalisierbar ist.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 23.09.2010 | | Autor: | alina00 |
Danke für die Antwort, die Eigenwerte von (H+E) unterscheiden sich um 1 von den Eigenwerten von H. Wie würde man denn zeigen dass (H+E) diagbar ist? Das muss man glaube ich schon noch dazu zeigen, denn dass sie kommutieren reicht meiner Meinung nach nicht aus.
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Wenn ich noch so einmal darüber nachdenke steht es ja eigentlich hier:
[mm]S^{-1}HS+S^{-1}ES=S^{-1}HS+E=D_1+E [/mm]
Wobei [mm]D_1+E[/mm] eine Diagonalmatrix ist. Also führt eine direkte Rechnung dazu, dass H diagonalisierbar [mm]\Rightarrow[/mm] (H+E) diagonalisierbar
gilt.
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