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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Do 08.03.2012 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{sin^{2}x dx} [/mm] |
Habe eine Frage zu dem Integral, also beim finden der Stammfunktion. Ich habe das über SUbstitution versucht aber bin mir nicht sicher ob das so richtig ist.
z=sin x
[mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm] cos x
dx = [mm] \bruch{1}{cos x}dz
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{z^{2} * \bruch{1}{cos x}dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{cos x}*\integral_{}^{}{z^{2} dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{cos x}*\bruch{1}{3}*z^{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{cos x}*\bruch{1}{3}*sin x^{3}
[/mm]
[mm] \bruch{sin x^{3}}{3cos x}
[/mm]
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> [mm]\integral_{}^{}{sin^{2}x dx}[/mm]
> Habe eine Frage zu dem
> Integral, also beim finden der Stammfunktion. Ich habe das
> über SUbstitution versucht aber bin mir nicht sicher ob
> das so richtig ist.
> z=sin x
> [mm]\bruch{dz}{dx}=[/mm] cos x
>
> dx = [mm]\bruch{1}{cos x}dz[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{z^{2} * \bruch{1}{cos x}dz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{cos x}*\integral_{}^{}{z^{2} dz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{cos x}*\bruch{1}{3}*z^{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{cos x}*\bruch{1}{3}*sin x^{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{sin x^{3}}{3cos x}[/mm]
>
hallo,
wenn du eine funktion f(x) substituierst, muss du alle x ersetzen
schau doch mal hier, ob du da nicht einen geeigneten ansatz findest
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Produkte_der_Winkelfunktionen
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 08.03.2012 | | Autor: | mo1985 |
ehrlich gesagt finde ich da nichts :D aber ich habe doch auch alle x ersetzt, oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mo!
> ehrlich gesagt finde ich da nichts :D aber ich habe doch
> auch alle x ersetzt, oder sehe ich das falsch?
Das siehst Du falsch! Du hast doch noch den Faktor [mm] $\bruch{1}{\cos(\red{x})}$ [/mm] , den Du dann auch noch klammheimlich vor das Integral ziehst, was nur für konstante Faktoren erlaubt ist.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du hast einfach 1/cos(x) vor dein integral geschrieben, deine substitution klappt nicht, denn statt cos(x) müsstest du
cos(arcsin(z)) ins integral schreiben und dann wirds viel schlimmer statt besser,
sin^2x=^-cos^2x
cos^2x=0.5*(cos2x+1)
ist eine Möglichkeit, oder eben partielle integration.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du suchst geeignete beziehungen um nen einfachen sin oder cos zu haben,
b) partielle Integration sinx*sinx, leider 2 mal hintereinander.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Do 08.03.2012 | | Autor: | mo1985 |
ja da habe ich auch shcon dran gedacht aber dann muss ich das ja solange machen bis da steht
[mm] \integral_{}^{}{sinx * sinx dx}= [/mm] ... - [mm] \integral_{}^{}{sinx * sinx dx}
[/mm]
dann könnte ich das integral ja von der rechten auf die linke seite packen und dann das ganze durch 2 teilen, dann würde da stehen
[mm] \integral_{}^{}{sinx * sinx dx}= \bruch{...}{2}
[/mm]
aber das wäre ja shcon eine größere aktion und ich hatte mir erhofft das es auch mit substituieren geht, einfacher und schneller. aber zumindest das mit dem einfacher kann ich aktuell ja noch vergessen...;)
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Fr 09.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die elegangteste Variante ist:
[mm] \int\sin^{2}(x)dx
[/mm]
[mm] =\int1-\cos^{2}(x)dx
[/mm]
Mit
[mm] \cos^{2}(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))
[/mm]
[mm] =\int1-\frac{1}{2}(1+\cos(2x))dx
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)dx
[/mm]
Nun bist du auf elegante Weise die Potenz um die Trigonometische Funktion losgeworden.
Marius
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