sin(arctanx) vereinfachen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 3) Drücken Sie
sin(arctan x)
einfacher aus, also in einer Form, in der keine trigonometrischen Funktionen mehr
vorkommen. |
Hallo, ich habe ein Verständnisproblem, wieso gilt für (Definitionsbereich von arctan) [mm] -\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2} -----\to(Umrechnung [/mm] von sinx in tanx) [mm] sin\alpha=\bruch{tan\alpha}{\wurzel{1+tan^2\alpha}} [/mm] ?
würde mich über ein Tipp freuen
Gruß Alex
|
|
| |
|
Hallo,
> 3) Drücken Sie
> sin(arctan x)
> einfacher aus, also in einer Form, in der keine
> trigonometrischen Funktionen mehr
> vorkommen.
> Hallo, ich habe ein Verständnisproblem, wieso gilt für
> (Definitionsbereich von arctan)
> [mm]-\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2} -----\to(Umrechnung[/mm]
> von sinx in tanx)
> [mm]sin\alpha=\bruch{tan\alpha}{\wurzel{1+tan^2\alpha}}[/mm] ?
>
> würde mich über ein Tipp freuen
>
> Gruß Alex
Hast du Probleme mit dem Definitionsbereich, oder mit [mm]sin\alpha=\bruch{tan\alpha}{\wurzel{1+tan^2\alpha}}[/mm] ?
Die Gleichung kommt vom trigonometrischen Pythagoras [mm] (\sin^2 x+\cos^2 [/mm] x=1) und von der Definition des Tanges [mm] (\tan x=\bruch{\sin x}{\cos x}).
[/mm]
Viel Erfolg beim Verständnis,
Roland.
PS: Anstelle von x darf natürlich auch [mm] \alpha [/mm] stehen.
|
|
|
| |
|
Ich habe die Lösung für diese Aufgabe, kann aber leider nicht einzelne Schritte nachvolziehen und zwar ist das der Komplete Lösungsweg:
Anfang der Lösung
für
("Wertebereich von arctan" <-meine Erkenntnis nicht bestandteil de Lösung)
[mm] -\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2}
[/mm]
gilt
("Umrechnung von sinx in tanx" <-meine Erkenntnis nicht bestandteil de Lösung)
[mm] sin\alpha=\bruch{tan\alpha}{\wurzel{1+tan^2\alpha}} [/mm]
mit [mm] \alpha=arctanx [/mm] folgt damit:
sin(arctan [mm] )=\bruch{tan(arctanx)}{\wurzel{1+tan^2(arctanx)}}=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
ende der Lösung
Meine Frage: wieso muss man von dem Wertebeich für arctanx ausgehen und wie erkennt man, dass wenn der arctan Wertebereich
[mm] -\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2} [/mm] ist, wieso muss man dann sinx ins tanx umrechnen? Wie kommen die einzelnen Schritte zustande, Also wenn ich die Aufgabe in der Klasur rechnen würde, wäre ich nie auf diesen Lösungsweg gekommen???Wieso geht man bei dieser Aufgabe so vor?
gruß Alex
|
|
|
| |
|
Hallo,
es ist nicht einfach nachzuvollziehen, was du alles nicht verstehst, aber ich versuche es mal.
Die Aufgabe lautet wohl:
[mm] \sin (\mathrm{arctan\ } \alpha)
[/mm]
soll vereinfacht werden.
Nun kann man davor sitzen und sich fragen, was das alles soll... Doch was ist denn der [mm] \mathrm{arctan\ } \alpha? [/mm] Das ist die Umkehrfunktion von [mm] \tan\alpha. [/mm] D.h. [mm] \tan\mathrm{arctan\ }\alpha=\mathrm{arctan}\tan\alpha=\alpha.
[/mm]
Da wir wissen, dass eine solche schöne Vereinfachung existiert, sollten wir den Ausgangsterm irgendwie umwandeln. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder den [mm] \sin [/mm] in einen [mm] \tan [/mm] verwandeln, oder aus [mm] \mathrm{arctan} [/mm] irgendwas mit [mm] \mathrm{arcsin} [/mm] machen (wobei die zweite Möglichkeit wesentlich komplizierter ist).
Also nimmt man die erste Möglichkeit und schaut in irgendein Nachschlagewerk (wenn man nicht selber darauf kommen möchte), wo die Umrechnung von [mm] \sin [/mm] in den [mm] \tan [/mm] steht.
Dann ist es noch sinnvoll den Wertebereich das [mm] \mathrm{arctan} [/mm] zu bestimmen, da es ja andere oder sogar mehr Lösungen gibt, wenn alle Winkel herauskommen würden. Konkret heißt das: [mm] \mathrm{arctan} [/mm] liefert nur Werte zwischen [mm] -\frac{\pi}{2} [/mm] und [mm] \frac{\pi}{2}. [/mm] Diese Werte sind nun die Argumente für [mm] \sin. [/mm] Somit hat man Glück, da der [mm] \sin [/mm] dadurch eineindeutig ist. Man muss also nicht verschiedene Fälle unterscheiden. Ich kann mich aber an keine Aufgabe in der Schule erinnern, wo man kein Glück hatte.
Der Rest müsste ja klar sein. Einfach aufschreiben und aus jedem [mm] \tan\mathrm{arctan\ }\alpha [/mm] ein [mm] \alpha [/mm] machen - fertig.
Viel Erfolg,
Roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mi 16.12.2009 | | Autor: | capablanca |
Super, danke schön!!!
gruß Alex
|
|
|
|
