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sin, cos komplex: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Mi 18.04.2007
Autor: blinktea

Aufgabe
Die Funktionen cos: [mm] \IC \to \IC [/mm] und sin: [mm] \IC \to \IC [/mm]  werden definiert durch [mm] cos(z)=(e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz})/2, sin(z)=(e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz})/2i. [/mm] man zeige:

b) cos²z+sin²z=1, sin(z+w)=sinzcosw + coszsinw, cos(z+w)=...

also die erste aufgabe von b ist kein problem. nur bei sin(z+w) weiß ich nicht genau weiter, soll ich bei cosw dann einfach statt des z ein w schreiben? also: [mm] cos(w)=(e^{iw}+e^{-iw})/2 [/mm] und bei sinus genauso?? also das hab ich mal gemacht, und dann folgendes gerechnet:

[mm] (e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz})/2i )*(e^{iw} [/mm] + [mm] e^{-iw})/2) [/mm] + [mm] ((e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz})/2) [/mm] * [mm] (e^{iw} [/mm] - [mm] e^{-iw})/2i) [/mm]

allerdings kürzt sich bei mir alles weg, so dass ich dann 0/4 übrig habe, also Null. vielleicht kann mir ja jemand helfen :)...DANKE

        
Bezug
sin, cos komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 18.04.2007
Autor: wauwau

[mm]cos(z+w)=\bruch{1}{2}(e^{iz+iw} + e^{-iz-iw}) =\bruch{1}{4}((e^{iz} + e^{-iz})*(e^{iw} + e^{-iw}) + (e^{iz} - e^{-iz})*(e^{iw} - e^{-iw})) = cos(z)cos(w)+sin(z)sin(w)[/mm]


Bezug
        
Bezug
sin, cos komplex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 17.05.2007
Autor: gabi114

HI,
Kannst du mir evtl. bei dem ersten Teil von der b) weiterhelfen?
zz.: cos²z+sin²z=1
Gruß
Gabi

Bezug
                
Bezug
sin, cos komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Do 17.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Gabi,

das kannste einfach geradeheraus mit der definition ausrechen:

[mm] $\cos^2(z)+\sin^2(z)=\left[\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\right]^2+\left[\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\right]^2=\frac{1}{4}\left(e^{2iz}\underbrace{+2e^{iz}e^{-iz}}_{=2e^0=2}+e^{-2iz}\right)-\frac{1}{4}\left(e^{2iz}\underbrace{-2e^{iz}e^{-iz}}_{=-2}+e^{-2iz}\right)$ [/mm]

Nun noch etwas zusammenfassen und [mm] \frac{1}{4} [/mm] ausklammern, dann haste es


LG

schachuzipus



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sin, cos komplex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Do 17.05.2007
Autor: gabi114

Supi,
Danke dir vielmals:-)
Mit dem einfach runter rechnen haste recht:-)
Gruß
Gabi

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