sin u. cos ableiten < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Guten Abend,
von
https://matheraum.de/wissen/trigonometrische_Funktion
habe ich
Ableitg der sin u. cos-Fkt.
$ f(x) = [mm] \sin [/mm] (x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \cos [/mm] (x) $
$ g(x) = [mm] \cos [/mm] (x) [mm] \Rightarrow [/mm] g'(x) = [mm] -\sin [/mm] (x) $
Die Ableitg der allg. sin u. cos-Fkt. erhält man mit der Kettenregel:
Frage 1:
Kann man mit der Kettenregel alle trigonometr. Fkt. ableiten oder nur sin u. cos?
Ableiten kann ich bisher nur Polynome (Potenzregel).
Habe mir die Kettenregel angeschaut u. so schwer ist das ja eigentl. nicht.
Aber leider stand da nix vom Ableiten von sin u. cos.
Aber ich erkenne in der Fkt. des sin nicht 2 Fkt.
Bei Wiki las ich: Mit der Kettenregel kann man Fkt ableiten, die aus 2 miteinander verketteten Fkt. bestehen.
Frage 2:
Wo ist das denn bei f(x) = sin x?
Hintergrund: Schülerin hat gefragt, warum cos x = sin x ist, bzw. wann das gleich ist. Ich vermute, dass sie nur den Ableitgs.strich vergessen hat mitzuschreiben. |
Guten Abend,
von
https://matheraum.de/wissen/trigonometrische_Funktion
habe ich
Ableitg der sin u. cos-Fkt.
$ f(x) = [mm] \sin [/mm] (x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \cos [/mm] (x) $
$ g(x) = [mm] \cos [/mm] (x) [mm] \Rightarrow [/mm] g'(x) = [mm] -\sin [/mm] (x) $
Die Ableitg der allg. sin u. cos-Fkt. erhält man mit der Kettenregel:
Frage 1:
Kann man mit der Kettenregel alle trigonometr. Fkt. ableiten oder nur sin u. cos?
Ableiten kann ich bisher nur Polynome (Potenzregel).
Habe mir die Kettenregel angeschaut u. so schwer ist das ja eigentl. nicht.
Aber leider stand da nix vom Ableiten von sin u. cos.
Aber ich erkenne in der Fkt. des sin nicht 2 Fkt.
Bei Wiki las ich: Mit der Kettenregel kann man Fkt ableiten, die aus 2 miteinander verketteten Fkt. bestehen.
Frage 2:
Wo ist das denn bei f(x) = sin x?
sin ist ne Kurve/Grahp u. deswegen auch eine Fkt.
und
x ist eine lineare Fkt.
Aber das x ist doch sicher die Varible u. gehört so dazu wie immer.
Frage3:
Wie kann ich mir jetzt aneignen wie ich sin u. cos ableite?
Gucke erst morgen wieder hier. Und freue mich mal wieder auf eure Hilfe u. Antworten. DANKE! Super, dass es matheraum u. euch Menschen darin gibt!
Gute Nacht
Sabine
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> Schülerin hat gefragt, warum cos x = sin x ist
Ist es denn das?
> Ich vermute, dass sie nur den Ableitgs.strich vergessen hat mitzuschreiben.
Hab keine Glaskugel aber das wird so sein.
Kettenregel ist für das Ableiten zusammengesetzer Funktionen da:
(im eindimensionalen sieht sie so aus)
$f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)$
Bei [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] könnte man mit der Kettenregel, wie folgt ableiten (Kanonen auf Spatzen schießen)
[mm] $\blue{f}(\green{g(x)})'=f'(g(x))*g'(x)$ [/mm]
mit [mm] $\blue{f(x)=sin(x)}$ [/mm] und [mm] $\green{g(x)=id(x)=x}$ [/mm] (id = Identität)
[mm] $f'(x)=(\blue{\sin}(\green{x}))'*x'=\cos(x)*1=\cos(x)$
[/mm]
Sinn macht es aber erst bei:
[mm] $\blue{\sin}(\green{2x})$ [/mm] (lässt sich mit Hilfe der Kettenregel ableiten)
[mm] $\sin(2x)'=\cos(2x)*2$
[/mm]
Daher denke ich, dass eine allgemeine Sinusfunktion etwa so aussieht:
[mm] $a*\sin{bx+c}+d$ [/mm] und deren Ableitung [mm] $a*\cos{bx+c}*b$
[/mm]
Oder man kommt auf die weithergeholte Idee den Cosinus so abzuleiten:
Man weiß [mm] $\sin'(x) [/mm] = [mm] \cos(x) [/mm] $ und [mm] $\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
[/mm]
[mm] $(\cos x)'=(\blue{\sin}\left(\green{\frac{\pi}{2}-x}\right))'\underbrace{=}_{\mbox{Kettenregel}}\cos(\frac{\pi}{2}-x)*(-1)=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin(x)$
[/mm]
Die Ableitung von sin,cos erhält leicht durch [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ [/mm]
[mm] $e^{ix}=\blue{\cos(x)}+i*\red{\sin(x)}$ [/mm]
[mm] $(e^{ix})'=i*e^{ix}=i*(\cos(x)+i\sin(x))=i\cos(x)-\sin(x)=\blue{-\sin(x)}+i\red{\cos(x)}$ [/mm]
oder Anwendung der Definition:
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{\sin{x+h}-\sin{x}}{h}=\ldots$
[/mm]
Siehe:
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Analysis:_Differentialrechnung:_Differentiation_der_Sinusfunktion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 24.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
Irgendwie kann ich die Antwort nicht auf vollständig beantwortet setzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Fr 24.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
> von
> https://matheraum.de/wissen/trigonometrische_Funktion
> habe ich
> Ableitg der sin u. cos-Fkt.
> [mm]f(x) = \sin (x) \Rightarrow f'(x) = \cos (x)[/mm]
> [mm]g(x) = \cos (x) \Rightarrow g'(x) = -\sin (x)[/mm]
>
> Die Ableitg der allg. sin u. cos-Fkt. erhält man mit der
> Kettenregel:
Hallo,
mit "allgemein" ist sicher a*sin(bx+c)+d gemeint. Da ist die Kettenregel schon erforderlich.
Gruß Abakus
>
> Frage 1:
> Kann man mit der Kettenregel alle trigonometr. Fkt.
> ableiten oder nur sin u. cos?
>
> Ableiten kann ich bisher nur Polynome (Potenzregel).
> Habe mir die Kettenregel angeschaut u. so schwer ist das
> ja eigentl. nicht.
> Aber leider stand da nix vom Ableiten von sin u. cos.
> Aber ich erkenne in der Fkt. des sin nicht 2 Fkt.
> Bei Wiki las ich: Mit der Kettenregel kann man Fkt
> ableiten, die aus 2 miteinander verketteten Fkt. bestehen.
> Frage 2:
> Wo ist das denn bei f(x) = sin x?
>
> Hintergrund: Schülerin hat gefragt, warum cos x = sin x
> ist, bzw. wann das gleich ist. Ich vermute, dass sie nur
> den Ableitgs.strich vergessen hat mitzuschreiben.
> Guten Abend,
> von
> https://matheraum.de/wissen/trigonometrische_Funktion
> habe ich
> Ableitg der sin u. cos-Fkt.
> [mm]f(x) = \sin (x) \Rightarrow f'(x) = \cos (x)[/mm]
> [mm]g(x) = \cos (x) \Rightarrow g'(x) = -\sin (x)[/mm]
>
> Die Ableitg der allg. sin u. cos-Fkt. erhält man mit der
> Kettenregel:
>
> Frage 1:
> Kann man mit der Kettenregel alle trigonometr. Fkt.
> ableiten oder nur sin u. cos?
>
> Ableiten kann ich bisher nur Polynome (Potenzregel).
> Habe mir die Kettenregel angeschaut u. so schwer ist das
> ja eigentl. nicht.
> Aber leider stand da nix vom Ableiten von sin u. cos.
> Aber ich erkenne in der Fkt. des sin nicht 2 Fkt.
> Bei Wiki las ich: Mit der Kettenregel kann man Fkt
> ableiten, die aus 2 miteinander verketteten Fkt. bestehen.
>
> Frage 2:
> Wo ist das denn bei f(x) = sin x?
> sin ist ne Kurve/Grahp u. deswegen auch eine Fkt.
> und
> x ist eine lineare Fkt.
> Aber das x ist doch sicher die Varible u. gehört so dazu
> wie immer.
>
> Frage3:
> Wie kann ich mir jetzt aneignen wie ich sin u. cos
> ableite?
>
> Gucke erst morgen wieder hier. Und freue mich mal wieder
> auf eure Hilfe u. Antworten. DANKE! Super, dass es
> matheraum u. euch Menschen darin gibt!
> Gute Nacht
> Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
1.
f´(x) ist nie gleich f(x)
Da habe ich einen Fehler gemacht!
Also, das mit der Glaskugel war schon mal gut.
Gemeint kann nur sein "Wann sind sin u. cos gleich"
u. das können nur die Schnittpunkte ihrer Graphen sein.
2.
Das hatte ich mich auch schon gefragt "was heißt allg.?"
>"allg." ist sicher a*sin(bx+c)+d
entsprechend z.B. y=mx+b
ich hätte das gern übertragen auf
s(x)= sin x oder s(x)= sin (x)
Heißt das bei dieser sin Fkt. (eine andere kenne ich noch nicht) sind
a = 1
b = 1
c = 0
d = 0
?
3.
Wenn ja, dann muss es doch auch f. mich ersichtl. sein, dass das Ding
a*sin(bx+c)+d
aus 2 Fkt. zus.gesetzt (od. MUSS ich verkettet sagen?) ist.
1*sin(1x+0)+0
Tja, leider weiß ich die Bedeutg. von a, b, c, u. d nicht.
d ist vermutl. auch hier Schnittpkt. an y-Achse.
Sicher lässt sich das Ding in die Länge ziehen, seine HP zus.schieben, also die Phasen "verkürzen", usw. wie bei den Polynomen auch. Aber ganz ehrlich: Wenn abakus bestätigt, dass man die Kettenregel für die allg. Form braucht - ich erkenne trotzdem keine 2 verketteten Fkt.
u. wieschoo bastelt da aus $ [mm] f(x)=\sin(x) [/mm] $ einfach zwei:
Er fängt gut an, nämlich:
Bei
$ [mm] f(x)=\sin(x) [/mm] $
könnte man mit Kettenregel ableiten:
Aber dann bastelt er einfach eine Fkt., die sich aus 2 zus.setzt, wovon die eine eben nur die
$ [mm] \blue{f(x)=sin(x)} [/mm] $
ist.
Das ist das, was ich nicht kapiere u. auch schon in meiner Ausgangs-/Ursprungsfrage nicht verstand. Ich erkenne in $ [mm] \blue{f(x)=sin(x)} [/mm] $ keine 2 Fkt.
4.
Thema in der Schule ist: Wann sind sin und cos gleich?
Antw.: Da wo ihre Graphen sich schneiden, bzw. wenn für beide Fkt. gleiche x-Werte da sind, d.h. beim Gleichsetzen der beiden Fkt. die Gleichg. gleich ist. Bei sin u. cos ist das, wenn ich es mal aus einem Schaubild (jeweils eine Phase v. sin u. cos) ablese (abschätze) - es stehen an der x-Achse natürl. Zahlen (oh. Pi´s):
sin u. cos sind gleich bei 0,7 an der x-Achse, u. das kann nur 45° entsprechend.
sin u. cos sind auch noch gleich bei knapp 4 an der x-Achse. An einem anderem Schaublid sollen das 5/4 Pi sein.
Prüfung
0,7 soll sein 1/4 Pi dann
? 5/4 Pi
Hey, mit 3-Satz kommt 3,9 raus u. das ist knapp 4.
Jetzt kann man das Ganze ja noch in Grad übersetzen u. in Grad angeben.
Aber das war es doch auch schon oder was soll die Frage "Wann sind sin, cos gleich?" Gibt es noch mehr zu sagen? Für was sind diese Schnittpunkte von Bedeutung?
Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> 1.
> f´(x) ist nie gleich f(x)
Das ist in dieser Form falsch. Beispiel: $f'(x)=f(x)=0$ oder [mm] $f'(x)=f(x)=e^x$
[/mm]
> Da habe ich einen Fehler gemacht!
> Also, das mit der Glaskugel war schon mal gut.
> Gemeint kann nur sein "Wann sind sin u. cos gleich"
> u. das können nur die Schnittpunkte ihrer Graphen sein.
Um die zu bestimmen benutzt Du am besten den trigonometrischen Einheitskreis. (Die beiden Katheten des rw Dreiecks müssen gleich lang sein)
>
>
> 2.
> Das hatte ich mich auch schon gefragt "was heißt allg.?"
Damit wird angedeutet, dass eine Gleichung mit Koeffizienten (hier a, b, c, d) eine ganze Klasse von Funktionen erzeugt.
> >"allg." ist sicher a*sin(bx+c)+d
> entsprechend z.B. y=mx+b
> ich hätte das gern übertragen auf
> s(x)= sin x oder s(x)= sin (x)
> Heißt das bei dieser sin Fkt. (eine andere kenne ich noch
> nicht) sind
> a = 1
> b = 1
> c = 0
> d = 0
Ja!
>
>
> 3.
> Wenn ja, dann muss es doch auch f. mich ersichtl. sein,
> dass das Ding
> a*sin(bx+c)+d
> aus 2 Fkt. zus.gesetzt (od. MUSS ich verkettet sagen?)
> ist.
Das ist leider falsch. Diese Funktion kann man sich als Ergebnis einer Verkettung von 3 Funktionen vorstellen:
$h(x)=a [mm] \cdot [/mm] x +d$ (Das ist im Übrigen auch schon eine verkette Funktion!)
$g(x) = [mm] \sin(x)$
[/mm]
$k(x)=b [mm] \cdot [/mm] x +c$ (Das ist im Übrigen auch schon eine verkette Funktion!)
Dann ist $f(x) =h(g(k(x))) $
> 1*sin(1x+0)+0
> Tja, leider weiß ich die Bedeutg. von a, b, c, u. d
> nicht.
> d ist vermutl. auch hier Schnittpkt. an y-Achse.
Nein!
a heißt Amplitude und gibt die Maximalabweichung von y = d an
b heißt Frequenz und gibt an wie oft der Graph um y = d herumzappelt
c ist die Phasenverschiebung der Funktion nach links oder rechts
...
>
> 4.
> Thema in der Schule ist: Wann sind sin und cos gleich?
> Antw.: Da wo ihre Graphen sich schneiden, bzw. wenn für
> beide Fkt. gleiche x-Werte da sind,
Vergleiche meine Bemerkung unter 1.
...
>
> Grüße
> Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Giraffe |
Zur Beantwortg. der Frage "Wann sind sin u. cos gleich" sagst du, soll ich am besten den trigonometrische Einheitskreis benutzen. Den muss ich erstmal basteln. Aber ich bin gewiss, dass das Ding so anschaulich ist, dass sich die Bastelei lohnt; also, wird gemacht.
>Damit wird angedeutet, dass eine Gleichung mit
>Koeffizienten (hier a, b, c, d) eine ganze Klasse
>von Funktionen erzeugt.
Sehr schön gesagt! Und prima, dass du gleich dazu gesagt, welche Bedeutg. die Koeffizienten haben.
> a*sin(bx+c)+d soll aus 2 verketteten Fkt. bestehen? Meinetwegen, aber sehen tu ich das noch nicht. Mit der Verkettung muss ich mich noch mehr beschäftigen, dass habe ich noch nicht verstanden.
Wieso aber 1*sin(1x+0)+0 diese hier auch schon aus mind. 2 miteinander verketteten bestehen soll (mit 0=nix u. 1 mal irgendwas bleibt doch irgendwas, dann ist mal 1 auch egal) ist noch ein Rätsel.
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