sin(x) eine Sobolev Funktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:06 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
ich möchte gerne zeigen, dass die Funktion [mm] $\sin(x):(0,\pi)\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] eine Funktion in [mm] $H^1_0(0,\pi) [/mm] := [mm] W^{1,2}_0(0,\pi)$ [/mm] ist (wenn das denn überhaupt stimmt.).
Per Definition muss ich doch eine Folge von Funktionen [mm] $f_n\in C^{\infty}_c(0,\pi)$ [/mm] finden, welche in der Norm [mm] $\Vert\cdot\Vert_{W^{1,2}(0,\pi)}$ [/mm] gegen sin(x) konvergiert. Aber leider weis ich nicht genau, wie ich da rangehen soll. Habt ihr vielleicht eine Idee, wie man das macht?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich möchte gerne zeigen, dass die Funktion
> [mm]\sin(x):(0,\pi)\rightarrow \mathbb{R}[/mm] eine Funktion in
> [mm]H^1_0(0,\pi) := W^{1,2}_0(0,\pi)[/mm] ist (wenn das denn
> überhaupt stimmt.).
kannst Du (für mich jedenfalls) nochmal kurz dazuschreiben, wie
[mm] $W^{1,2}_0(0,\pi)$
[/mm]
definiert ist?
Ich habe das gerade nicht mehr im Kopf...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Marcel,
Klar kann ich das machen! Der Raum $W^{1, 2}_0 (0,\pi)$ ist der Abschluss von $C^{\infty}_c (0,\pi)$ (=Der raum der glatten funktionen mit kompaktem träger im intervall (0,\pi)) bzgl. der Norm $\Vert f\Vert:=\left ( \Vert f\Vert_{L^2 (0,\pi)}+ \Vert \frac {df}{dx}\Vert_{L^2(0,\pi)}\right)^{\frac {1}{2}}$.
Reicht das als definition? Falls noch was unklar sein sollte, sag bitte einfach bescheid.
Es geht also darum, die sinusfunktion durch glatte funktionen mit kompaktem träger bzgl. Obiger norm zu approximieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 10.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
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> Klar kann ich das machen! Der Raum [mm]W^{1, 2}_0 (0,\pi)[/mm] ist
> der Abschluss von [mm]C^{\infty}_c (0,\pi)[/mm] (=Der raum der
> glatten funktionen mit kompaktem träger im intervall
> [mm](0,\pi))[/mm] bzgl. der Norm [mm]\Vert f\Vert:=\left ( \Vert f\Vert_{L^2 (0,\pi)}+ \Vert \frac {df}{dx}\Vert_{L^2(0,\pi)}\right)^{\frac {1}{2}}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
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> Reicht das als definition? Falls noch was unklar sein
> sollte, sag bitte einfach bescheid.
ne, das ist okay. War mir halt nicht mehr geläufig.
> Es geht also darum, die sinusfunktion durch glatte
> funktionen mit kompaktem träger bzgl. Obiger norm zu
> approximieren
Vielleicht kann man sowas wie
$f_n:=\left. I \right_{[1/n,\;\pi-1/n]}*\left.\sin\right|_{(0,\;\pi)}$
entsprechend modifizieren (hier sind die "Grenzen" $1/n$ bzw. $\pi-1/n$ ja ein
Problem bzgl. der *Glattheit* - die $f_n$ sind also nicht in $C^\infty(0,\;\pi)$).
$I\,$ ist die Indikatorfunktion (auf $(0,\;\pi)$ - das soll auch der Def.-Ber. der $f_n$ sein).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Fr 12.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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