sin(x) / x < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen,
warum ist der Grenzwert für x --> 0 von sin(x) / x
1?
Das verstehe ich nicht ganz. Stimmt das überhauot? Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen, will man doch die Mathematik verstehen und nicht auswendig lernen.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo learningboy!
Ja, es stimmt: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$ .
Lies Dir dazu mal diesen alten Artikel durch.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
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> warum ist der Grenzwert für x --> 0 von sin(x) / x
>
> 1?
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Stimmt das überhauot? Ich
> würde mich über eine Antwort sehr freuen, will man doch die
> Mathematik verstehen und nicht auswendig lernen.
Das ist lobenswert !
Da über Deinen math. Background nichts zu erfahren ist, weiß ich nicht, ob Dir das Folgende hilfreich ist:
$sin(x)$ ist auf [mm] \IR [/mm] definiert durch die Potenzreihe
$sin(x) = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}(-1)^n\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = x - [mm] \bruch{x^3}{3!}+ \bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!} \pm [/mm] ......$
Somit ist
[mm] $\bruch{sin(x)}{x}= [/mm] 1 - [mm] \bruch{x^2}{3!}+ \bruch{x^4}{5!}-\bruch{x^6}{7!} \pm [/mm] ......$
Nun darf man in einer solchen Potenzreihe den Grenzübergang [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] und die Summation vertauschen, daher
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}= [/mm] 1$
FRED
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> Danke.
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Hallo,
vielen dank.
Reicht als Beweis eigentlich auch die Regel von Hospital?
Das wäre ja richtig einfach dann, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Das wäre von vorne nach hinten durch die Brust, denn:
Um die Regel von de l'Hospital anwenden zu können muß man wissen , dass der Sinus differenzierbar ist und als Ableitung den Cosinus hat.
Die Differenzierbarkeit von Sinus beweist man aber mit Hilfe von
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}= [/mm] 1 $
FRED
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weil google liefert mir viele treffer, da wird immer mit hospital bewiesen, z.B
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=119374&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fq%3Dsin%28x%29%252Fx%2B1%2B%26sourceid%3Dnavclient-ff%26ie%3DUTF-8%26rlz%3D1B3GGGL_deDE255DE255%26aq%3Dt
ist das dann falsch als beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo learningboy!
Wie Fred bereits schrieb, ist es halt unlogisch bzw. inkonsequent, wenn Du den o.g. Grenzwert zur Ermittlung der Ableitung des Sinus benötigst.
Kann dagegen die Ableitung des Sinus als bekannt vorausgesetzt werden, ist die Bestimmung des Grenzwertes mittels de l'Hospital in Ordnung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fred!
Da in der Regel dieser o.g. Grenzwert bei der Ermittlung Ableitung für die Sinusfunktion auftritt, hat dieser Ansatz über die Potenzreihe einen logischen Widerspruch. Immerhin werden bei den Potenzreihen die Ableitungen verwendet (siehe auch hier).
Gruß
Loddar
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> Immerhin
> werden bei den Potenzreihen die Ableitungen verwendet
Hallo,
man kann sin(x) über die entsprechende Potenzreihe definieren, das hat dann absolut nichts mit Ableitungen zu tun.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angela!
> man kann sin(x) über die entsprechende Potenzreihe
> definieren, das hat dann absolut nichts mit Ableitungen zu tun.
Dann kann ich aber auch über die Potenzreihe die Ableitung bestimmen und benötige den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm] nicht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Da hast Du recht
FRED
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> Dann kann ich aber auch über die Potenzreihe die Ableitung
> bestimmen und benötige den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}[/mm]
> nicht.
Also heute folge ich Dir schlecht...
Klar kannst Du über die Potenzreihe die Ableitung bestimmen.
Aber man darf sich doch auch für den Grenzwert von [mm] \bruch{\sin(x)}{x} [/mm] interessieren, wenn man gerade nicht das Ansinnen hat, sin abzuleiten. (?)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angela!
> Also heute folge ich Dir schlecht...
Na, dann komm mal mit ...  *reich-Dir-die-Hand*
> Klar kannst Du über die Potenzreihe die Ableitung bestimmen.
Schon klar!
> Aber man darf sich doch auch für den Grenzwert von
> [mm]\bruch{\sin(x)}{x}[/mm] interessieren, wenn man gerade nicht das
> Ansinnen hat, sin abzuleiten. (?)
Auch klar!
Vielleicht sollte der Fragesteller einfach mal erläutern wozu bzw. in welchem Kontext der o.g. Grenzwert benötigt wird.
Gruß
Loddar
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> Vielleicht sollte der Fragesteller einfach mal erläutern
> wozu bzw. in welchem Kontext der o.g. Grenzwert benötigt
> wird.
Gute Idee.
Und so lange setzen wir zwei beide uns auf eine Bank in der Sonne. ich bin jetzt nämlich etwas außer Puste.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> Da in der Regel dieser o.g. Grenzwert bei der Ermittlung
> Ableitung für die Sinusfunktion auftritt, hat dieser Ansatz
> über die Potenzreihe einen logischen Widerspruch.
Hallo Loddar
Das sehe ich nicht so. Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus werden über Potenzreihen definiert.
In der Schule macht man das natürlich nicht so, da kriegt man diese Funktionen als Glaubensbekenntnis untergejubelt.
Genausowenig wird in der Schule z.B. exakt definiert, was [mm] 3^{\wurzel{2}} [/mm] sein soll. Aber gerechnet wird damit.
Gruß FRED
>Immerhin
> werden bei den Potenzreihen die Ableitungen verwendet
> (siehe auch hier).
>
>
> Gruß
> Loddar
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