sinus-Familie linear unabh.? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 02.05.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Sei [tex] \lambda > 0 [/tex] sowie [tex] f_{\lambda}(x) := sin(\lambda x) [/tex] gegeben. Zeigen Sie, dass die Familie der [tex] f_{\lambda} [/tex] im Vektorraum der Funktionen von [tex] [mm] \IR \to \IR[/mm] [tex]
linear unabhängig ist.
Tipp: Leiten sie sehr häufig ab. |
Aloha hé zusammen,
ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe. Beim Stöbern hier im Matheraum fand ich https://matheraum.de/read?t=251827 diesen Eintrag. Soweit so gut. Ich habe also versucht diese Vandermonde-Matrix analog zu dem Beispiel dort zu finden.
Was muss ich überhaupt zeigen?
Also ich dachte mir das so:
Zu zeigen ist: [tex] a_{1} * sin (\lambda_{1} x) + a_{2} * sin (\lambda_{2} x) + ... + a_{n} * sin (\lambda_{n} x) = 0 \gdw \lambda_{1} = \lambda_{2} = ... = \lambda_{n} = 0 [/tex]
Um diese Vandermonde-Form zu Erhalten hatte ich mir überlegt, dass ich gerade 2n-mal oft ableite.
Alle zwei Ableitungen erhalte ich ja gerade wieder den Sinus (mit alternierendem Vorzeichen eben), also:
[tex] a_{1} * sin (\lambda_{1} x) + a_{2} * sin (\lambda_{2} x) + ... + a_{n} * sin (\lambda_{n} x) = 0 [/tex]
[tex] (- a_{1} * \lambda_{1}^{2}) * sin (\lambda_{1} x) + (- a_{2} * \lambda_{2}^{2}) * sin (\lambda_{2} x) + ... + (- a_{n} * \lambda_{n}^{2}) * sin (\lambda_{n} x) = 0[/tex]
...
[tex] (- a_{1} * \lambda_{1}^{2n}) * sin (\lambda_{1} x) + (- a_{2n} * \lambda_{2}^{2}) * sin (\lambda_{2} x) + ... + (- a_{n} * \lambda_{n}^{2n}) * sin (\lambda_{n} x) = 0 [/tex]
Diese Form sieht der Vandermonde-Form in der obigen Aufgabe schon sehr ähnlich. Mein Problem ist allerdings x=0. In dem Fall ist es ja vollkommen egal, was die einzelnen [tex]\lambda[/tex] nun sind, denn da komm immer Null raus.
Irgendwie habe ich keine Ahnung, wie ich dieses Argument Sinnstiftend aushebeln kann...
Vielleicht sollte ich auch gerade die "ungeraden Ableitungen" also die dann Cosinus bzw. "-Cosinus" enthalten mit einbeziehen.
Würde mich über einen Stupps in die richtige Richtung sehr freuen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun wieder zu seinen Kettenbrüchen dackelt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Mi 02.05.2007 | | Autor: | wauwau |
HI,
du solltest meines Erachtens nur die ableitungen betrachten, in denen der cosinus vorkommt.
Denn nur dann kannst du x=0 setzen und cos(0)=1 was dich zur Vandermonde Determinante führt (wahrscheinlich....) Da cos(x) unendl. oft differenzierbar ist, sollte es nicht zu schwer sien.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 02.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
erstmal vielen herzlichen Danke für die rasche Antwort. Das mit dem Cosinus ist schonmal eine geniale Idee, wobei ich dann ja noch argumentieren muss, warum aus der l.u. des Cosinus die des Sinus folgt (das sollte aber machbar sein).
Eine andere Frage die sich mir stellt:
Für die [tex] \lambda [/tex] wissen wir nur, dass sie größer als Null sein sollen. Insbesondere können sie also gerade aus [tex] \IN [/tex] stammen. Wenn ich nur gerade [tex] x = 2 \pi [/tex] wähle, dann erhalte ich im Falle des Cosinus wieder lauter Nullen (vorausgesetzt, dass durch die [tex] \lambda [/tex] nur Vielfache von [tex] 2 \pi [/tex] innerhalb des Cosinus erscheinen. Klar, dass wäre ein Sonderfall, aber er kann ja auftreten und sogesehen auch nicht ausgeschlossen werden...
Namárie,
sagt ein Lary, wo diesbezüglich noch verunsichert ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mi 02.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Es muss jedoch für alle [mm] \lambda [/mm] Möglichkeiten gelten...
Da du jedoch von Sinus ausgehst (summe ai mal sin(lambda i x)) dann nur mehr davon die den cosinus beinhaltende Ableitungen betrachtest, hast du die lin. unabh. des sinus gezeigt - nicht die des Cosinus...
|
|
|
|
