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so hallo erstmal!
folgende aufgabe:
berechne das integral [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {sin(x) dx} wobei a= [mm] \pi [/mm] und b=2* [mm] \pi [/mm] , in folgenden schritten:
1.Gib die gesamtheit der stammfunktionenvon f mit f(x)= sin x an.
2. Suche unter disen diejenigen raus, welche gleich der integralfunktion I- [mm] \pi [/mm] mit I- [mm] \pi [/mm] (x)= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f} wobei a= - [mm] \pi [/mm] und b = x, ist.
Setze für x die integralgrenze 2 [mm] \pi [/mm] ein und berechne das integral.
sooo 1 is noch ganz einfach:
F(x)= cos(x)+c. mehr versteh ich leider nichtr. ich versuchs heute noch und ich hoffe, dass ich heute abend meine ergebnisse mit euren vergleichen kann... danke im vorraus, ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Do 15.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Frage ist leider schwer lesbar und nicht eindeutig formuliert. Ist jetzt $a= [mm] \pi$ [/mm] oder [mm] $a=-\pi$? [/mm] Ich gehe jetzt mal von $a= [mm] \pi$ [/mm] aus...
Auf jeden Fall ist die Gesamtmenge der Stammfunktionen durch
[mm] $F_c [/mm] = [mm] \red{-}\cos(x)+c$
[/mm]
gegeben, du hattest das Minuszeichen vergessen.
Nun sollst du $c$ so bestimmen, dass
[mm] $-\cos(x) [/mm] + c = [mm] \int\limits_{\pi}^x \sin(t)\, [/mm] dt$
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt. Insbesondere muss die Gleichheit gelten, wenn wir [mm] $x=\pi$ [/mm] einsetzen. Tun wir das, so erhalten wir:
$1+c = - [mm] \cos(\pi) [/mm] + c = [mm] \int\limits_{\pi}^{\pi} \sin(t)\, [/mm] dt = 0$,
also:
$c=-1$.
Die gesuchte Integralfunktion ist somit
[mm] $\int\limits_{\pi}^x \sin(t)\, [/mm] dt = [mm] -\cos(x) [/mm] -1$.
Jetzt brauchst du nur noch [mm] $x=2\pi$ [/mm] einzusetzen und erhältst:
[mm] $\int\limits_{\pi}^{2\pi} \sin(t)\, [/mm] dt = [mm] -\cos(2\pi) [/mm] -1 = -1-1 = -2$.
Liebe Grüße
Julius
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soo - [mm] \pi [/mm] stimmt.. also bei der aufgabenstellung ist a gleich [mm] \pi [/mm] .. und bei nummer 2 ist a - [mm] \pi [/mm] . hä? trotzdem verstehe ich die frage nich so.. sorry
was is denn die frage? also ich verstehe nich, was sie von mir wollen. das integral berechnen?
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Hi, satanicskater,
> soo - [mm]\pi[/mm] stimmt.. also bei der aufgabenstellung ist a
> gleich [mm]\pi[/mm] .. und bei nummer 2 ist a - [mm]\pi[/mm] . hä? trotzdem
> verstehe ich die frage nich so.. sorry
Naja: In Deiner ersten Fragestellung könnte man's aber schon so lesen!
Oder soll's vielleicht [mm] I_{\pi} [/mm] heißen?
> was is denn die frage? also ich verstehe nich, was sie von
> mir wollen. das integral berechnen?
Du sollst durch diese Aufgabe wohl lernen, zwischen "verschiedenen Integralen" zu unterscheiden,
a) dem "unbestimmten Integral":
Das ist die Menge aller Stammfunktionen und bei Dir kommt raus:
[mm] \integral{sin(x)dx} [/mm] = - cos(x) + c.
b) dem "bestimmten Integral", in Deinem Fall:
[mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{sin(x)dx} [/mm] = [mm] [-cos(x)]_{\pi}^{2\pi} [/mm] = -2.
und
c) der "Integralfunktion":
Ich nehm' mal als untere Grenze "- [mm] \pi":
[/mm]
I = [mm] \integral_{-\pi}^{x}{sin(t)dt} [/mm] = [mm] [-cos(t)]_{-\pi}^{x} [/mm] = -cos(x) - 1.
Wie Julius in seiner Antwort schon geschrieben hat, entspricht dieser Integralfunktion in der Menge der Stammfunktionen diejenige, bei der c=-1 ist.
Erkenntnis: Integralfunktionen sind auch Stammfunktionen!
(Die Umkehrung gilt übrigens nicht!
Es gibt Stammfunktionen, denen keine Integralfunktion entspricht! - Das werdet ihr vermutlich später im Unterricht noch lernen!)
Weiter in Deiner Aufgabe:
Du sollst als Letztes in die Integralfunktion für x den Wert [mm] 2\pi [/mm] einsetzen und das Ergebnis bestimmen:
[mm] I(2\pi) [/mm] = [mm] -cos(2\pi) [/mm] - 1 = - 1 - 1 = -2.
Das war's!
Weitere Fragen?
mfG!
Zwerglein
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okay.. ne jetzt versteh ichs auch. danke.. ich liebe diese seite, ihr seit spitze!!!!!! boah, ich hoffe ich kann auch mal irgendwem ´helfen
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