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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Do 02.02.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Habe eben Klausur geschrieben und konnte folgende wahrscheinlich nicht wirklich schwierige Aufgabe leider nicht lösen. Zu zeigen war, wenn A symmetrisch und positiv definit ist, dass dann auch [mm] A^{-1} [/mm] symmetrisch und positiv definit ist.
Ich wollte zuerst zeigen, dass [mm] A^{-1} [/mm] auch symmetrisch sein muss, aber schon da bin ich gescheitert: A symmetrisch bedeutet ja [mm] A=A^T. [/mm] Dann habe ich versucht: [mm] I=AA^{-1}= A^TA^{-1} [/mm] oder [mm] =A^{-1}^TA^T [/mm] aber dann kam ich nicht mehr weiter. Und wie zeige ich dann noch, dass [mm] A^{-1} [/mm] positiv definit ist? Oder macht man das sowieso ganz anders?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Basti,
wenn du das Produkt zweier Matrizen transponierst dann gilt
[mm] $(AB)^T=B^TA^T$.
[/mm]
Wenn $AB=1$ ist, d.h. B die Inverse von A ist, dann steht auf der rechten Seite der Gleichung...
Für die positiv-definit-Heit von $A^(-1)$ weiß ich grad auch keine Lösung. Du kannst ja mal untersuchen, was passieren würde, wenn diese Matrix nicht positiv definit ist.
Hugo
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Hallo Bastiane,
mir fallen da zwei Möglichkeiten ein:
1. Da $A$ spd ist, gibt es eine orthogonale Matrix $Q$, so dass $Q^TAQ=D$ eine Diagonalmatrix ist. Dabei stehen auf der Diagonalen gerade die (positiven) Eigenwerte von $A$. Nun gilt:
[mm] $Q^TA^{-1}Q=\big(Q^{-1}A(Q^T)^{-1}\big)^{-1}=\big(Q^TAQ\big)^{-1}=D^{-1}$.
[/mm]
Da [mm] $D^{-1}$ [/mm] spd ist, ist auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] spd.
2. Hugo hat ja schon gezeigt, dass [mm] $A^{-1}$ [/mm] symmetrisch ist. Sei nun [mm] $x\in\IR^n\setminus\{0\}$. [/mm] Da $A$ invertierbar ist, gibt es ein [mm] $y\in\IR^n$, [/mm] so dass $Ay=x$. Dann gilt:
[mm] $\langle A^{-1}x;x\rangle=A^{-1}Ay;Ay\rangle=\langle y;Ay\rangle>0$.
[/mm]
Gruß, banachella
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Zum Glück bin ich nicht mehr im ersten Semester. Sonst gäbe es für mich einiges nachzuholen.
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