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| Aufgabe | Stammfunktion von [mm] 2x*\wurzel{1-x^2}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
Hallo Leute,
ich weis nicht wie ich die stammfunktion von diese Funkton bilden soll.
Kann mir da jemand helfen?
danke schon mal
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Hallo Krümelchen,
das Integral [mm] $\int{2x\cdot{}\sqrt{1-x^2} \ dx}$ [/mm] lässt sich gut über die Substitution [mm] $u:=1-x^2$ [/mm] lösen
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
danke für den Tipp aber ich komm damit nicht auf meine vorgegebene Lösung.
Kannst du mir schrittweise den weg zur stammfunkton zeigen.
wär echt toll.
lg
Krümelchen
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Hallo Kruemelchen,
wenn du mir deinen Rechenweg zeigst und wir so rausfinden können, wo er von der vorgegebenen Lösung (welcher?) abweicht, dann gerne 
Aber zeig' erstmal deine Ansätze her...
LG
schachuzipus
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Hallo!
Weisst du denn wie das funktioniert mit dem Substitueren?
Ich kann dir ja mal eine aufagbe vormachen und dann versuchst du das an deiner aufgabe:
Also zb. [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{3}{(2-5x)²} dx} [/mm] Nun substituieren wir:
u=2-5x und [mm] \bruch{du}{dx}=-5
[/mm]
[mm] \rightarrow -\bruch{3}{5}*\integral_{a}^{b}{-5*(2-5x)^{-2} dx}
[/mm]
[mm] \rightarrow -\bruch{3}{5}*\integral_{a}^{b}{-5*\bruch{du}{dx}*(u)^{-2} du}
[/mm]
[mm] \rightarrow -\bruch{3}{5}*-u^{-1}
[/mm]
[mm] \rightarrow \bruch{3}{5}*u^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}(2-5x)^{-1} [/mm] +c
das c weil ich ja keine festen grenzen angegeben habe.
Zu deiner aufgabe: bei deiner aufgabe musst du den ausdruck unter deiner wurzel substituieren...versuchs mal
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Hallo ihr zwei,
danke erstmal für die Hilfe. Die Lösung ist richtig aber ich komm da nicht drauf.
ich habe erst sub. u = 1 - [mm] x^2 [/mm] und dann die Produktformel angewant.
F(x) = 2x * [mm] 2/3u^3/2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] u^1/2
[/mm]
Dann resubstitution:
F(x) = 2x * [mm] 2/3(1-x^2)^3/2 [/mm] * [mm] (x-1/3x^3) [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] (1-x^2)^1/2 [/mm] * [mm] (x-1/3x^3)
[/mm]
So weit bin ich aber wie komm ich jetzt auf die lösung?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
du musst alle Ausdrücke, die x enthalten durch Ausdrücke mit u ersetzen - einschließlich des dx
Du hast über einen "gemischten" Ausdruck intergriert...
Also mit der Substitution $u:=1-x^2$ ist $\red{x=\sqrt{1-u}}$
Damit ist $\frac{dx}{du}=\frac{1}{2\sqrt{1-u}}\cdot{}(-1)$
Also $\blue{dx=-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}$
Nun mal alles ersetzen:
$\int{2x\cdot{}\sqrt{1-x^2} \ dx}=\int{2\red{\sqrt{1-u}}\cdot{}\sqrt{u}\left(\blue{-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}}\right)}=\int{-\sqrt{u} \ du}=-\int{u^{\frac{1}{2}} \ du}$
Nun mache mal von hieraus weiter...
LG
schachuzipus
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Danke für die hilfe aber ich kapier das beim besten willen nicht.
bis dann
lg
Krümelchen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo krümelchen!
Was genau verstehst Du denn nicht bzw. an welchem Punkt genau wird es unklar?
Hier nochmal der Rechenweg mit leichter Abwandlung ...
Mit [mm] $2x*\wurzel{1-x^2}$ [/mm] haben wir einen Term vorliegen, bei dem nahezu die Ableitung des Ausdruckes unter der Wurzel als Faktor vorkommt.
Daher werden wir in dem Integral [mm] $\integral{2x*\wurzel{1-x^2} \ dx}$ [/mm] die Substitution $z \ := \ [mm] 1-x^2$ [/mm] durchführen.
Damit erhalten wir:
[mm] $$\integral{2x*\wurzel{\red{1-x^2}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{2x*\wurzel{\red{z}} \ dx}$$
[/mm]
Allerdings müssen wir nun auch wirklich alle $x_$ durch $z_$ ersetzen ebenso wie das Differential $dx_$ durch $dz_$ , da ja schließlich nunmehr nach $z_$ integriert werden soll.
Dafür leiten wir die Substitutionsfunktion $z \ = \ z(x) \ = \ [mm] 1-x^2$ [/mm] mal ab und wenden an, dass für die Ableitung gilt: $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx}$ [/mm] :
$$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \left(1-x^2\right)' [/mm] \ = ß -2x$$
Dies formen wir um zu:
[mm] $$\blue{dx \ = \ \bruch{dz}{-2x}}$$
[/mm]
Eingesetzt in unser Integral ergibt sich damit:
[mm] $$\integral{2x*\wurzel{z} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{2x*\wurzel{z} \ \blue{\bruch{dz}{-2x}}} [/mm] \ = \ ...$$
Kürzen liefert nun:
$$... \ = \ [mm] \integral{-\wurzel{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] -\integral{z^{\bruch{1}{2}} \ dz}$$
[/mm]
Nun wie gewohnt nach $z_$ mit der  Potenzregel integrieren und anschließend den oben gewählten Term für $z_$ einsetzen:
$$... \ = \ [mm] -\bruch{1}{\bruch{3}{2}}*z^{\bruch{3}{2}}+C [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{2}{3}*\wurzel{z^3}+C [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{2}{3}*\wurzel{\left(1-x^2\right)^3 \ }+C$$
[/mm]
Mach' doch mal die Probe und leite diese Funktion wieder ab. Da sollte dann die Ausgangsfunktion herauskommen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für die ausführliche antwort. Ist echt nett das du dir so viel arbeit gemacht hast.
Ich wusste nicht das man das dx in dz ändern muss. Ich weis ja nicht einmal für was das dx eigentlich steht aber egal.
Jetzt da das dx durch dz/-2x ersetzt wird fällt das 2x vom anfang aber eher durch Zufall weg weil die ableitung von [mm] (1-x^2) [/mm] zufällig -2x ist. Was mach ich jetzt wenn sich das nicht zufällig ergibt?
lg und ein schönes neues Jahr
Krümelchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krümelchen!
> Ich wusste nicht das man das dx in dz ändern muss. Ich weis
> ja nicht einmal für was das dx eigentlich steht aber egal.
Hier habe ich das mal versucht zu erklären mit dem Differential ...
> Jetzt da das dx durch dz/-2x ersetzt wird fällt das 2x vom
> anfang aber eher durch Zufall weg weil die ableitung von
> [mm](1-x^2)[/mm] zufällig -2x ist. Was mach ich jetzt wenn sich das
> nicht zufällig ergibt?
Dann muss man sich wirklich einen anderen Lösungsweg einfallen lassen. Oder die entsprechende Stammfunktion ist eventuell nicht geschlossen ermittelbar.
Gruß
Loddar
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Ok danke jetzt hab ich das kapiert. Ich denke so aufgaben wo sich das nicht weg kürzt werd ich nicht bekommen in der prüfung.
alles gute noch
lg
Krümelchen
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