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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Do 22.11.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute, was genau besagt die standardabweichung aus?
wäre sie definiert als
[mm] \summe_{x\in X} [/mm] |x-E[X]|*P[X=x] (wobei X ist zufallsvariable und E[X]der erwartungswert der zufallsvariable X sein soll)
dann würde ich es noch verstehen, aber man nimmt ja die wurzel aus der summe aller abweichung (zum erwartungswert) zum quadrat.
was genau besagt dieser wert konkret?
warum hat man auch zB die varianz nicht einfach definiert als
Var(X) = [mm] \summe_{x\in X} [/mm] |x-E[X]|*P[X=x]
mir erscheint diese definition viel logischer.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 22.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin AriR,
die Standardabweichung ist definiert als [mm] $\sqrt{ \summe_{x\in X}(x-E[X])^2P[X=x]}$.
[/mm]
Dass man das Quadrat verwendet, hat theoretische Gruende, denn man hantiert
lieber mit Quadraten als mit Betraegen. Aber du hast
Recht, intuitiv ist auch "dein" Mass legitim, was uebrigens auch einen
Namen hat: mittlere absolute Abweichung, wohingegen $ [mm] \summe_{x\in X}(x-E[X])^2P[X=x]$ [/mm]
die mittlere quadratische Abweichung ist oder Varianz [mm] $\operatorname{Var}[X]$. [/mm] Beachte, dass
die Standardabweichung auf derselben Skala gemessen wird wie die
mittlere absolute Abweichung. So kann die Varianz eines Datensatzes 100 $cm ^2$
sein, jedoch ist seine Standardabweichung 10 cm.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 22.11.2007 | | Autor: | AriR |
danke schonmal für deine antwort..
was mir noch etwas schleierhaft ist: wenn ich die standardabweichung habe auch auf der selben skala, was kann ich genau mit ihrem wert anfangen? die sagt mir ja nichts wirklich anschauliches.. ich weiß, wenn er groß ist, ist der erwartungswert nicht sehr genau und andersrum, wobei bei dieser definition der standardabweichung gar nicht genau groß und klein anschaulich definieren kann. man kann zb nicht sagen, die größte abweichung vom erwartungswert ist die standardabweichung.
hoffe du weißt was ich meine. warum macht es sinn, diese zu definieren, also weldche konkreten anwendungen hat diese?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Do 22.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin AriR,
>
> was mir noch etwas schleierhaft ist: wenn ich die
> standardabweichung habe auch auf der selben skala, was kann
> ich genau mit ihrem wert anfangen? die sagt mir ja nichts
> wirklich anschauliches..
Doch, ich finde schon. Angenommen, du hast Werte [mm] $x_1,...,x_n$. [/mm] Diese
Werte werden jetzt transformiert zu [mm] $g(x_1),...,g(x_n)$. [/mm] Mit dem
arithmetischen Mittel dieser transformierten Werte
[mm] $(g(x_1)+...+g(x_n))/n$ [/mm] wird anschaulich Folgendes gemacht: Man wirft
alles in grossen Topf, indem man alle Werte addiert und nimmt den $n$-ten
Teil als typischen Vertreter *aller* Werte.
Nimm $g(x)=x$. Dann resultiert [mm] $\bar x=(x_1+...+x_n)/n$. [/mm] Dieser Wert
richtig schoen in der Mitte der Werte und gibt Auskunft ueber die Lage
der Werte [mm] $x_1,...,x_n$.
[/mm]
Nimm [mm] $g(x)=(x-\bar x)^2$. [/mm] Dann resultiert die mittlere quadratische
Abweichung [mm] $s^2=((x_1-\bar x)^2+...+(x_n-\bar x)^2)/n$. [/mm] Sie kann als die
typische Abweichung der Werte [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] von [mm] $\bar [/mm] x$ (gemessen durch
die Werte [mm] $(x_i-\bar x)^2$). [/mm] Mithin ist [mm] $s^2$ [/mm] ein Mass dafuer, wie stark
die Werte schwanken, also fuer die Variabilitaet. Beispielsweise haben
die beiden Datensaetze $-1,0,1$ und $-10,0,10$ denselben Mittelwert (also
[mm] $\bar [/mm] x$), aber sie unterscheiden sich in der Variabilitaet (bei der
ersten ist die Variabilitaet kleiner).
Du hast deine Frage im Zusammenhang mit einer diskreten Verteilung
gestellt, ich habe die Konzepte an einer empirischen Verteilung
illustriert. Die Argumentation ist aber uebertragbar, wenn du das
allgemeine Mass [mm] $\sum [/mm] g(x)P(X=x)$ betrachtest. Der Erwartungswert
[mm] $\operatorname{E}[X]$ [/mm] ist ein Spezialfall, wenn man $g(x)=x$ setzt und die Varianz auch,
wenn man [mm] $g(x)=(x-\operatorname{E}[X])^2$ [/mm] setzt.
> ich weiß, wenn er groß ist, ist
> der erwartungswert nicht sehr genau und andersrum, wobei
> bei dieser definition der standardabweichung gar nicht
> genau groß und klein anschaulich definieren kann. man kann
> zb nicht sagen, die größte abweichung vom erwartungswert
> ist die standardabweichung.
Leider nein...
> hoffe du weißt was ich meine. warum macht es sinn, diese
> zu definieren, also weldche konkreten anwendungen hat
> diese?
lg
Luis
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