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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:45 Do 23.06.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | An einer geheizten Kathode werden Elektronen
durch Glühemission freigesetzt und im elektrischen Feld zwischen Kathode und Anode
beschleunigt. Es stellt sich ein stationärer Zustand ein.
a) Wie lautet die Kontinuitätsgleichung?
Was heißt stationärer Zustand? |
Hallo!
Ich habe zuerst versucht, mir die Kontinuitätsgleichung grob herzuleiten, um zu sehen, ob ich sie überhaupt richtig verstehe. Leider ist das ganze jetzt ziemlich viel geworden, aber wäre echt cool wenn sich jemand das ganze mal antun könnte :P.
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Ich wähle ein Volumen, das irgendwo zwischen der Kathode und Anode liegt. Da die Elektronen sich nur in "x-Richtung" bewegen und meine einzelnen Größen nur vom Ort x abhängen, setzte ich [mm] $\vec [/mm] r=x$ (kann man das so machen?).
Es treten an der Kathode Elektronen aus, werden beschleunigt und treten mit einer Geschwindigkeit [mm] $v_1$ [/mm] in mein Volumen ein. Bis sie nach der Zeit [mm] $\Delta [/mm] t$ nun mit [mm] $v_2$ [/mm] aus meinem Volumen wieder austreten sind ja wieder Elektronen "nachgekommen" d.h. es befinden sich eine bestimmte Anzahl von Elektronen in meinem Volumen, was [mm] $\rho_v=\integral{\rho(x, t)\ dV}$ [/mm] entspricht. Betrachte ich jetzt kein Volumen sondern nur einen bestimmten Ort bei [mm] $\(x$ [/mm] so ist [mm] $\rho=\rho(x,t)$, [/mm] also ohne das Integral. (Dieser Übergang kommt mir irgendwie "falsch" begründet vor, kann das sein?)
Für meinen Strom betrachte ich jetzt alle Elektronen, die aus meinem Volumen über die jeweilige Fläche ein- und austreten:
[mm] $I=\integral{\vec j(x,t)\ d\vec A}=\integral{div\ \vec j(x,t) dV}$. [/mm] Diese Gleichheit erkläre ich mir so, dass die Summe aus den durch meine Flächen ein- und austretenden Ladungen gleich der Summe aus den Senken und Quellen in meinem durch die Flächen begrenzten Volumen ist. Ist also die Summe aus ein- und austretenden Ladungen ungleich null, so folgt daraus, dass die "restlichen" Ladungen irgendwo in meinem Volumen verschwinden bzw entstehen müssen.
Betrachte ich nun wieder kein Volumen sondern nur einen bestimmten Ort bei x, so ist:
[mm] $\vec [/mm] j(x,t)=div\ [mm] \vec [/mm] j (x,t)$ (auch hier habe ich wieder ein ungutes Gefühl).
Die Quellen und Senken entsprechen der zeitlichen (warum aber zeitlich?) Änderung der Ladungsdichte.
So, jetzt verbinde ich beides und erhalte die Kontinuitätsgleichung:
$div\ [mm] \vec j(x,t)=-\bruch{\partial}{\partial t}\rho(x,t)$
[/mm]
Nun geht der stationäre Zustand ein:
Befindet sich ein System in einem stationären Zustand, so sind alle Größen zeitlich konstant, d.h. ihre zeitliche Ableitung ist 0.
Daher vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung zu:
$div\ [mm] \vec [/mm] j(x)=0$
Jetzt suche ich noch einen Ausdruck für [mm] $\vec [/mm] j(x)$:
Aus [mm] $\vec j=n*q*\vec v_e$ [/mm] mit [mm] $n*q=\rho$ [/mm] erhalte ich:
[mm] $\vec j(x)=\rho(x)*\vec [/mm] v(x)$
Die endgültige Kontinuitätsgleichung lautet dann:
[mm] $\to [/mm] div\ [mm] \vec j(x)=\bruch{\partial}{\partial x}(\rho(x)*\vec v(x))=\bruch{\partial\rho (x)}{\partial x}*\vec v(x)+\bruch{\partial \vec v(x)}{\partial x}*\rho(x)=0$
[/mm]
Was meint ihr dazu?
Vielen Dank fürs durchlesen !!!!
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mi 29.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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