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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - stationäre Lösung
stationäre Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

stationäre Lösung: Aufgabe 1a
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

[mm] u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)*v(t) [/mm]
[mm] v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)*v(t) [/mm]

Wie bekomme ich aus den beiden DGL eine stationäre Lösung???

Ich brauche da mal einen Ansatz, sowas wie:

[mm] u''\vektor{u \\ u'}= \pmat{ ? & ? \\ ? & ? }\vektor{u \\ u'} [/mm]

Kann mir da jmd weiterhelfen wäre sehr freundlich.

gruß Thomy

        
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

$ [mm] u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
hier kann ich ja u ausklammern dann erhalate ich:
$ u(t)'=u(2-3u-v)$
$ [mm] v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
$ v(t)'=v(4-v-5u)$

Bezug
                
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,


> [mm]u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> hier kann ich ja u ausklammern dann erhalate ich:
>  [mm]u(t)'=u(2-3u-v)[/mm]
>  [mm]v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>  [mm]v(t)'=v(4-v-5u)[/mm]


Siehe diese Antwort.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mo 13.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)*v(t)[/mm]
>  [mm]v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)*v(t)[/mm]
>  
> Wie bekomme ich aus den beiden DGL eine stationäre
> Lösung???
>  
> Ich brauche da mal einen Ansatz, sowas wie:
>  
> [mm]u''\vektor{u \\ u'}= \pmat{ ? & ? \\ ? & ? }\vektor{u \\ u'}[/mm]
>  
> Kann mir da jmd weiterhelfen wäre sehr freundlich.
>  
> gruß Thomy


Stationäre Lösung heißt ja $\ u'(t)=0$ und $\ v'(t)=0$ und
[mm] u(t)=u_0 [/mm] und [mm] v(t)=v_0 [/mm]  für alle t .
Einsetzen, Kürzen der entstandenen Gleichungen
und Auflösen des Gleichungssystems liefert ganz
leicht die gesuchten Werte für [mm] u_0 [/mm] und [mm] v_0 [/mm] !

LG   Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin:

u'=0 => u=0 und v ist beliebig

v'=0 => v=0 und u beliebig

[mm] u(t)=???=u^2-u^3-.... [/mm] ich bekomme u*v nicht integriert wie kommt man denn auf u*v? Da gilt ja die Produktregel. Sprich die Ableitung von irgendwas muss = u*v ergeben aber ich kapier nicht wie ich sie Rückwärts anwende.

[mm] v(t)=???=2v^2-1/3v^3-5???? [/mm] hier habe ich das selbe Problem.

Bezug
                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyartberlin,


> Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin:
>  
> u'=0 => u=0 und v ist beliebig
>  
> v'=0 => v=0 und u beliebig


Hier folgt doch u=konstant, v=konstant

Diese konstanten Lösungen gilt es aus dem Gleichungssystem

[mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm]
[mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]


zu ermitteln.


>  
>  
> [mm]u(t)=???=u^2-u^3-....[/mm] ich bekomme u*v nicht integriert wie
> kommt man denn auf u*v? Da gilt ja die Produktregel. Sprich
> die Ableitung von irgendwas muss = u*v ergeben aber ich
> kapier nicht wie ich sie Rückwärts anwende.
>  
> [mm]v(t)=???=2v^2-1/3v^3-5????[/mm] hier habe ich das selbe Problem.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

Achso:

Also ist $ [mm] 0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $

$v=2+3u, da u=0 => v=2$

und bei

$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $

$ u=4/5-v/5, da v=0 => u=4/5 $ Oder muss ich v=2 nehmen?

dan wäre es ja $ u=4/5-2/5=2/5 $

Also wäre der GGP bei (0/2) und (0/(4/5)) bzw. bei )0/(2/5)) ???



Bezug
                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,

> Achso:
>  
> Also ist [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> [mm]v=2+3u, da u=0 => v=2[/mm]


Hier muss es doch [mm]v=2\blue{-}3u[/mm] heißen.

Damit hast Du 2 Fälle:

i) v=2-3*u
ii) u=0

Für jeden dieser Fälle betrachtest Du die Gleichung

[mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]

und ermittelst daraus die Lösungen.


>  
> und bei
>  
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>  
> [mm]u=4/5-v/5, da v=0 => u=4/5[/mm] Oder muss ich v=2 nehmen?
>  
> dan wäre es ja [mm]u=4/5-2/5=2/5[/mm]
>  
> Also wäre der GGP bei (0/2) und (0/(4/5)) bzw. bei
> )0/(2/5)) ???
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                
Bezug
stationäre Lösung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 18:27 Mo 13.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Thomyatberlin,
>  
> > Achso:
>  >  
> > Also ist [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> >
> > [mm]v=2+3u, da u=0 => v=2[/mm]     [haee]
>  
>
> Damit hast Du 2 Fälle:
>  
> i) v=2+3*u    [notok]

das sollte heißen:   v=2-3*u

>  ii) u=0
>  
> Für jeden dieser Fälle betrachtest Du die Gleichung
>  
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>  
> und ermittelst daraus die Lösungen.
>  
>
> >  

> > und bei
>  >  
> > [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>  >  
> > [mm]u=4/5-v/5, da v=0 => u=4/5[/mm] Oder muss ich v=2 nehmen?
>  >  
> > dan wäre es ja [mm]u=4/5-2/5=2/5[/mm]
>  >  
> > Also wäre der GGP bei (0/2) und (0/(4/5)) bzw. bei
> > )0/(2/5)) ???
>  >  
>
>
> Gruss
>  MathePower  


Bezug
                                                
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

Für $ [mm] 0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $

1.Fall v=2+3u

[mm] 0=2u-3u^2-2u+3u^2 [/mm]

0=0

2.Fall u=0

[mm] 0=2*u-3*(0)^2-2(0)*v [/mm]

0=0

Für:

$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $

1.Fall v=2+3u

[mm] 0=u^2+5/3u-2/3 [/mm]

u1=-2 u2=1/3

2.Fall u=0

v1=2 und v2=0

Bezug
                                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,

> Für [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]


Aus dieser Gleichung folgen doch die 2 Fälle:

i) v=2-3*u

ii)u=0.

Dann hast Du im Fall i) die Lösungen der Gleichung

[mm]0=4\blue{\left(2-3u\right)}-\blue{\left(2-3u\right)}^2-5*u\cdot{}\blue{\left(2-3*u\right)}[/mm]

im Fall ii) die Lösungen der Gleichung

[mm]0=4v(t)-v(t)^2-5*\blue{0}\cdot{}v(t)[/mm]

zu ermitteln.


>
> 1.Fall v=2+3u
>  
> [mm]0=2u-3u^2-2u+3u^2[/mm]
>  
> 0=0
>  
> 2.Fall u=0
>  
> [mm]0=2*u-3*(0)^2-2(0)*v[/mm]
>  
> 0=0
>  
> Für:
>  
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> 1.Fall v=2+3u
>  
> [mm]0=u^2+5/3u-2/3[/mm]
>  
> u1=-2 u2=1/3
>  
> 2.Fall u=0
>  
> v1=2 und v2=0



Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

i) v=2-3*u

ii)u=0.

im Fall i) die Lösungen der Gleichung

$ [mm] 0=4\blue{\left(2-3u\right)}-\blue{\left(2-3u\right)}^2-5\cdot{}u\cdot{}\blue{\left(2-3\cdot{}u\right)} [/mm] $

Also ist hier doch u1=2/3 und u2=1

im Fall ii) die Lösungen der Gleichung

$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5\cdot{}\blue{0}\cdot{}v(t) [/mm] $

Also ist hier doch v1=2 und v2=0


Sind die GGP jetzt ((2/3) / 2) und (1/0)? Und das ist die stationäre Lösung?

Bezug
                                                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,

> i) v=2-3*u
>  
> ii)u=0.
>  
> im Fall i) die Lösungen der Gleichung
>  
> [mm]0=4\blue{\left(2-3u\right)}-\blue{\left(2-3u\right)}^2-5\cdot{}u\cdot{}\blue{\left(2-3\cdot{}u\right)}[/mm]
>  
> Also ist hier doch u1=2/3 und u2=1
>  
> im Fall ii) die Lösungen der Gleichung
>  
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5\cdot{}\blue{0}\cdot{}v(t)[/mm]
>  
> Also ist hier doch v1=2 und v2=0
>  


Die Lösung v1 musst Du nochmal nachrechnen.


>
> Sind die GGP jetzt ((2/3) / 2) und (1/0)? Und das ist die
> stationäre Lösung?


Nein.

Die Gleichgewichtspunkte haben im Fall i) die Form

[mm]\left(u_{k}, \ 2-3u_{k}\right), \ k=1,2[/mm]

Im Fall ii) die Form [mm]\left(0, v_{k}\right), \ k=1,2[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

v1=4

Die Gleichgewichtspunkte haben im Fall i) die Form

$ \left(u_{k}, \ 2-3u_{k}\right), \ k=1,2 $

Im Fall ii) die Form $ \left(0, v_{k}\right), \ k=1,2 $

Also  $ \left(2/3, \ 0}\right) $, $ \left(1,-1\ }\right) $

und
$ \left(0,4\right) $ $ \left(0,0\right) $

Bezug
                                                                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,

> v1=4
>
> Die Gleichgewichtspunkte haben im Fall i) die Form
>  
> [mm]\left(u_{k}, \ 2-3u_{k}\right), \ k=1,2[/mm]
>  
> Im Fall ii) die Form [mm]\left(0, v_{k}\right), \ k=1,2[/mm]
>  
> Also  [mm]\left(2/3, \ 0}\right) [/mm], [mm]\left(1,-1\ }\right)[/mm]
>  
> und
> [mm]\left(0,4\right)[/mm] [mm]\left(0,0\right)[/mm]  


[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
stationäre Lösung: 1b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

Ich soll jetzt die Punktmenge zeichnen von den beiden Gleichnungen die wir zurvor benutzt hatten:
[mm] 0=2u-3u^2-uv [/mm]
[mm] 0=4v-v^2-5uv [/mm]
Als Hinweis steht bei, dass es 4 Gerade sein  sollen die den ersten Quadraten in drei (offene) Bereiche aufgeteilen.

Kann ich mit dem GGP arbeiten und dann immer durch (0,0) gehen? Oder wie soll man das zeichnen?!



Bezug
                                                                                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,

> Ich soll jetzt die Punktmenge zeichnen von den beiden
> Gleichnungen die wir zurvor benutzt hatten:
>  [mm]0=2u-3u^2-uv[/mm]
>  [mm]0=4v-v^2-5uv[/mm]
>  Als Hinweis steht bei, dass es 4 Gerade sein  sollen die
> den ersten Quadraten in drei (offene) Bereiche
> aufgeteilen.
>  
> Kann ich mit dem GGP arbeiten und dann immer durch (0,0)
> gehen? Oder wie soll man das zeichnen?!
>  


Aus den beiden Gleichungen ergeben sich je 2 Geraden.

Diese sind in das Koordinatensystem einzuzeichnen.


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mo 13.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich soll jetzt die Punktmenge zeichnen von den beiden
> Gleichungen die wir zuvor benutzt hatten:
>  [mm]0=2u-3u^2-uv[/mm]
>  [mm]0=4v-v^2-5uv[/mm]
>  Als Hinweis steht bei, dass es 4 Gerade sein  sollen die
> den ersten Quadraten in drei (offene) Bereiche
> aufgeteilen.
>  
> Kann ich mit dem GGP arbeiten und dann immer durch (0,0)
> gehen? Oder wie soll man das zeichnen?!

"GGP" ist eine mir unbekannte Abkürzung.
Google liefert etwa "Global Garden Products", "General
Growth Properties", "Graphischer Großbetrieb Pössneck",
"Gastgewerbe und GewerbePolizei" ...

Die beiden Gleichungen kann man aber in je zwei
Geradengleichungen aufteilen:

   $\ [mm] 2\,u-3\,u^2-u\,v=0\quad \gdw\quad [/mm] u=0\ [mm] \vee\ v=2-3\,u$ [/mm]

   $\ [mm] 4\,v-v^2-5\,u\,v=0\quad \gdw\quad [/mm] v=0\ [mm] \vee\ v=4-5\,u$ [/mm]

Die Lösungsmenge jeder der beiden Gleichungen entspricht
der Vereinigungsmenge von zwei Geraden, also je einem
"Kreuz".
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems entspricht der
Schnittmenge der zwei entstandenen "Geradenkreuze".

LG    Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
stationäre Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 13.06.2011
Autor: Thomyatberlin

$ [mm] 0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $

Also nach v umstellen?

v=2-3u (1)

$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
hier nach u umstellen?

u=4/5-v/5(2)  (2) in (1) einsetzen?

v=-1/4

und u=17/20

ich bin gerade ziemlich durcheinander :(

Bezug
                                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mo 13.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Thomyatberlin,

> [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>  
> Also nach v umstellen?
>  
> v=2-3u (1)
>  
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>   hier nach u umstellen?
>
> u=4/5-v/5(2)  (2) in (1) einsetzen?
>  
> v=-1/4
>  
> und u=17/20
>  


Siehe diese Antwort.


> ich bin gerade ziemlich durcheinander :(


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
stationäre Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mo 13.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin:
>  
> u'=0 => u=0 und v ist beliebig   [notok]

Aus u'=0 folgt nicht u=0 , sondern nur [mm] u=const.=u_0 [/mm]

> v'=0 => v=0 und u beliebig   [notok]

dito

> [mm]u(t)=???=u^2-u^3-....[/mm] ich bekomme u*v nicht integriert wie
> kommt man denn auf u*v? Da gilt ja die Produktregel. Sprich
> die Ableitung von irgendwas muss = u*v ergeben aber ich
> kapier nicht wie ich sie Rückwärts anwende.
>  
> [mm]v(t)=???=2v^2-1/3v^3-5????[/mm] hier habe ich das selbe Problem.


Zu integrieren gibt's hier gar nix mehr !


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