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Ich soll die Formel für stereografische Projektion sowie für die Rückprojektion beweisen.
Grundlage hierfür ist die Riemann-Kugel mit Südpol im Ursprung und Nordpol bei (0,0,1)
Mit dem ersten Teil komme ich gut zurecht. Ich konnte zeigen, dass
[mm] f(u,v,w)=\begin{cases} \infty, & \mbox{für } (u,v,w)=(0,0,1) \\ (u+iv)/(1-w), & \mbox{für } (u,v,w)\not=(0,0,1) \end{cases}
[/mm]
Die Rückprojektion bereitet mir Schwierigkeiten:
zz.: [mm] (u,v,w)=(x,y,x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)
[/mm]
Ich habe bisher nur zeigen können dass [mm] w=(x^2+y^2)/(x^2+y^2+1) [/mm] indem ich den Betrag von z=(u+iv)/(1-w) quadriert habe, nach [mm] u^2 [/mm] aufgelöst und in die Kugelgleichung [mm] u^2+v^2+(w-1/2)^2=1/4 [/mm] eingesetzt habe. Dabei ist z=x+iy
(Ich bekomme 2 Lösungen für w, wie zeige ich welche die Richtige ist?:
[mm] w_{1}=(x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)
[/mm]
[mm] w_{2}=(x^2+y^2-1)/(x^2+y^2+1))
[/mm]
Wie mache ich jetzt weiter um u und v zu bekommen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 22.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich soll die Formel für stereografische Projektion sowie
> für die Rückprojektion beweisen.
> Grundlage hierfür ist die Riemann-Kugel mit Südpol im
> Ursprung und Nordpol bei (0,0,1)
> Mit dem ersten Teil komme ich gut zurecht. Ich konnte
> zeigen, dass
>
> [mm]f(u,v,w)=\begin{cases} \infty, & \mbox{für } (u,v,w)=(0,0,1) \\ (u+iv)/(1-w), & \mbox{für } (u,v,w)\not=(0,0,1) \end{cases}[/mm]
>
> Die Rückprojektion bereitet mir Schwierigkeiten:
> zz.: [mm](u,v,w)=(x,y,x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)[/mm]
>
> Ich habe bisher nur zeigen können dass
> [mm]w=(x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)[/mm] indem ich den Betrag von
> z=(u+iv)/(1-w) quadriert habe, nach [mm]u^2[/mm] aufgelöst und in
> die Kugelgleichung [mm]u^2+v^2+(w-1/2)^2=1/4[/mm] eingesetzt habe.
> Dabei ist z=x+iy
> (Ich bekomme 2 Lösungen für w, wie zeige ich welche die
> Richtige ist?:
> [mm]w_{1}=(x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)[/mm]
> [mm]w_{2}=(x^2+y^2-1)/(x^2+y^2+1))[/mm]
Wie kommst du auf die zweite Lösung?
Du hast doch drei Gleichungen:
1. Betragsquadrat von z: [mm] $x^2+y^2 [/mm] = [mm] \left(\bruch{u}{1-w}\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\bruch{v}{1-w}\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch {u^2+v^2}{(1-w)^2} [/mm] $.
2. Tangens des Polarwinkels, also Verhältnis von x und y: [mm] $\bruch{y}{x} [/mm] = [mm] \bruch{v}{u}$. [/mm]
3. Kugelgleichung: [mm]u^2+v^2+(w-1/2)^2=1/4 \gdw u^2+v^2 = -w^2+w = w (1-w) [/mm].
Wenn du die dritte in die erste einsetzt, bekommst du
[mm] x^2+y^2 = \bruch{w}{1-w} [/mm]
Für [mm] $w\not=1$ [/mm] folgt daraus [mm]w=(x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)[/mm].
Wenn du dieses w in die dritte Gleichung einsetzt, hast du
[mm] u^2+v^2 = \bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2+1)^2} [/mm],
und mit der 2. Gleichung kannst du z.B v eliminieren:
[mm] u^2 + \bruch{y^2}{x^2} u^2 = \bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2+1)^2} [/mm].
Hier bekommst du zwei Lösungen, weil in der Gleichung [mm] $\bruch{y}{x} [/mm] = [mm] \bruch{v}{u}$ [/mm] Informationen über die Vorzeichen verloren gegangen sind. Vergleich mit der Definition von $f(u,v,w)$ hilft dir, die richtige der beiden Lösungen zu wählen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
oh da hatte ich mich verrechnet bei w.
Danke für die schnelle Antwort, jetzt ist mir alles klar :)
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