stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 29.01.2008 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | gegeben sei die Funktion $ [mm] f(x)=x^2 [/mm] $
Ist die Funktion steig diffbar im Punkt $ [mm] x_0=1 [/mm] $ ?
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Ich beschäftige mich gerade mit Differenzierbarkeit und allen was dazu gehört und möchte mal gucken ob ich das richtig mache.
Lösungsvorschlag:
Eine Funktion heißt stetig diffbar,wenn ihre Ableitung stetig ist.
Eine Funktion heißt im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] $ differenzierbar,wenn
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}:=f'(x_0) [/mm] $ existiert
mit $ [mm] x_0=1 [/mm] $ erhalten wir:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} [/mm] (x+1)=2 $
da $ f'(1) $ existiert ist die Funktion im Punkt $ x=1 $ diffbar.
Ich muss nun also zeigen,dass die Funktion im Punkt x=1 stetig diffbar ist.
Es muss gelten:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f'(x)=f'(1) $
Da gilt $ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f'(x)=2$
Ist die Funktion stetig diffbar im Punkt $ [mm] x_0=1 [/mm] $
Wäre das so richtig ?
Was ist wenn ich zusammengesetzte Funktionen habe wie zb.
$ f(x)= [mm] e^x\cdot [/mm] sin(x) $ ?
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 29.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hallo,
kann mir keiner einen Tipp geben
cya
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Hallo
> gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm]
> Ist die Funktion steig diffbar im Punkt [mm]x_0=1[/mm] ?
>
> Lösungsvorschlag:
>
> Eine Funktion heißt stetig diffbar,wenn ihre Ableitung
> stetig ist.
>
> Eine Funktion heißt im Punkt [mm]x_0[/mm] differenzierbar,wenn
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}:=f'(x_0)[/mm]
> existiert
>
> mit [mm]x_0=1[/mm] erhalten wir:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} (x+1)=2[/mm]
>
bis hierher finde ich alles perfekt.
> da [mm]f'(1)[/mm] existiert ist die Funktion im Punkt [mm]x=1[/mm] diffbar.
Hier formulierst Du vielleicht etwas knapp. Mein Vorschlag:
Da der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm] existiert, ist f in x=1 differenzierbar. (Erst jetzt kann man von f´(1) sprechen.) Und es ist f´(1)=2.
> Ich muss nun also zeigen,dass die Funktion im Punkt x=1
> stetig diffbar ist.
Hier hast Du Dich vermutlich verschrieben. Es muss gezeigt werden, dass die Ableitungsfunktion f´in x=1 stetig ist. Dazu muss sie aber existieren, d. h. es muss zuerst gezeigt werden, dass die Funktion f in jedem x ( nicht nur für x=1) differenzierbar ist.
Jetzt kannst Du so weitermachen:
> Es muss gelten:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} f'(x)=f'(1)[/mm]
>
> Da gilt [mm]\limes_{x\rightarrow 1} f'(x)=2[/mm]
Bei dieser Behauptung musst Du Dich auf etwas berufen, das Du vermutlich schon früher bewiesen hast. (Du scheinst f´(x)=2x zu verwenden)
>
> Ist die Funktion stetig diffbar im Punkt [mm]x_0=1[/mm]
Gleicher (Schreib)fehler wie oben: f´ist in x=1 stetig
>
>
> Was ist wenn ich zusammengesetzte Funktionen habe wie zb.
>
> [mm]f(x)= e^x\cdot sin(x)[/mm] ?
Hier hast Du den wesentlichen Punkt schon angesprochen: die Funktion ist zusammengesetzt. Also betrachten wir die einfacheren Einzelteile, beweisen deren Stetigkeit( Differenzierbarkeit) und verwenden anschleißend Sätze der Art:
Sind 2 Funktionen (in einem Punkt) stetig (differenzierbar), so auch die Summe, das Produkt,.......
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 29.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
danke schön, ich stärke mich erstmal und dann gehts weiter.
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Di 29.01.2008 | | Autor: | crashby |
Okay weiter gehts.
z.z: $ f'(1) $ ist stetig
n.z.z: $ [mm] f(x_0) [/mm] $ ist in jedem Punkt diffbar.
Es gilt: $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)\cdot(x+x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} (x+x_0)=2\cdot x_0 [/mm] $
Da $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ existiert ist f diffbar in [mm] x_0 [/mm] und es gilt
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0} f'(x_0)=2\cdot x_0=f'(x_0) [/mm] $
Da $ [mm] x_0 [/mm] $ beliebig gewählt werden darf, ist die Funktion f in jedem Punkt
$ [mm] x_0\in [/mm] R $ stetig differenzierbar.
lg George
Bei dem anderen sage ich jetzt zb
$ [mm] f(x)=e^x [/mm] $ und $ g(x)=sin(x) $
und mache dasselbe und dann habe ichz hier ein SAtz der besagt dann,dass Produkte von diffbaren Funktionen wieder diffbar sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mi 30.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hallo, wollte nur mal wissen ob das jetzt so stimmt bevor ic hweiter mache 
lg George
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