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| Aufgabe | Für welche k aus IN ist f in x=0 stetig?
f: IR->IR
[mm] $f(x)=x^k*sin(1/x)$ [/mm] für [mm] $x\not=0$
[/mm]
f(x)=0 für x=0 |
ICh wollte das mit dem Folgenkriterium machen:
sei [mm] §x_{n}=1/n§
[/mm]
1/n -> 0
Die Frage ist also:
f(1/n) -> 0 für welche k?
[mm] (1/n)^k*sin(n)->0 [/mm]
Das muss doch jetzt unter dem Aspekt n-> unendlich betrachtet werden, oder?
Für alle k geht für n-> unendlich [mm] (1/n)^k*sin(n) [/mm] -> 0 .
Kann man das so machen? Oder wie ist es besser?
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Hallo,
> Für welche k aus IN ist f in x=0 stetig?
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> f: IR->IR
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> [mm]f(x)=x^k*sin(1/x)[/mm] für [mm]x\not=0[/mm]
> f(x)=0 für x=0
> ICh wollte das mit dem Folgenkriterium machen:
>
> sei [mm]§x_{n}=1/n§[/mm]
>
> 1/n -> 0
>
> Die Frage ist also:
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> f(1/n) -> 0 für welche k?
>
> [mm](1/n)^k*sin(n)->0[/mm]
>
> Das muss doch jetzt unter dem Aspekt n-> unendlich
> betrachtet werden, oder?
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> Für alle k geht für n-> unendlich [mm](1/n)^k*sin(n)[/mm] ->
> 0 .
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> Kann man das so machen? Oder wie ist es besser?
sofern du mit alle k [mm] k\ge{1} [/mm] meinst (es ist hier nicht ganz klar, wofür [mm] \IN [/mm] steht), ist das richtig. Die Vorgehensweise ist die übliche würde ich sagen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 04.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche k aus IN ist f in x=0 stetig?
>
> f: IR->IR
>
> [mm]f(x)=x^k*sin(1/x)[/mm] für [mm]x\not=0[/mm]
> f(x)=0 für x=0
> ICh wollte das mit dem Folgenkriterium machen:
>
> sei [mm]§x_{n}=1/n§[/mm]
>
> 1/n -> 0
>
> Die Frage ist also:
>
> f(1/n) -> 0 für welche k?
>
> [mm](1/n)^k*sin(n)->0[/mm]
>
> Das muss doch jetzt unter dem Aspekt n-> unendlich
> betrachtet werden, oder?
>
> Für alle k geht für n-> unendlich [mm](1/n)^k*sin(n)[/mm] ->
> 0 .
>
> Kann man das so machen? Oder wie ist es besser?
das ist noch nicht ausreichend. Du zeigst so nur, dass in NOTWENDIGER
WEISE $k [mm] \ge [/mm] 1$ gelten muss, damit [mm] $f\,$ [/mm] (besser würde man [mm] $f_k$ [/mm] schreiben)
stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist.
(Du zeigst also: Ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,,$ [/mm] so folgt $k [mm] \ge 1\,.$)
[/mm]
Nicht alles, was notwendig ist, muss aber auch hinreichend sein (und die
Frage ist hier doch eher: Wenn $k [mm] \ge \text{?}\,,$ [/mm] dann folgt, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig
in [mm] $0\,$ [/mm] ist. Wobei ich bei der Frage auch bemängeln muss, dass sie besser
formuliert werden sollte:
"Für genau welche $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig?"
Denn das ist eigentlich gemeint, und da wollen die natürlich auch Deine
Überlegung sehen, welche Bedingung an [mm] $k\,$ [/mm] notwendig ist...
Denn oben könnte ich durchaus auch einfach antworten: Bspw. für alle
$k [mm] \ge [/mm] 10000$ ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig (an der Stelle [mm] $0\,$)...)
[/mm]
Zeige noch: Ist $k [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\},$ [/mm] so folgt:
Ist [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] IRGENDEINE Nullfolge, so folgt auch in der Tat
[mm] $f(y_n) \to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 05.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle k [mm] \in \IN:
[/mm]
$$|f(x)| [mm] \le |x|^k$$
[/mm]
FRED
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