stetig und differenzierbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mi 02.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
es geht mir um folgende Definition:
f(x) auf I diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) auf I stetig
Umkehrung gilt nicht (zB Betragsfunktion)
Ich hab hier aber ein Gegenbeispiel:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \mbox{ aus } \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist doch auf ganz [mm] \IR [/mm] lückenlos diffbar, oder? Denn hier wird die Definitionslücke ja explizit ausgespart durch den Fall x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(0)=0
Und 0 ist ja diffbar.
Also müsste nach obiger Definition die Ableitung stetig sein...
was sie aber nicht ist, laut dem was ich hier aus der Uni vorliegen habe.
Angeblich, weil f'(0)=0 kein Häufungspunkt der Ableitung f'(x) ist wegen dem nachdifferenzierten [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] der das alles wild bei der 0 oszillieren lässt.
Wie kann das sein wenn die Definition am Anfang gelten soll??
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> es geht mir um folgende Definition:
>
> f(x) auf I diffbar [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) auf I stetig
> Umkehrung gilt nicht (zB Betragsfunktion)
>
> Ich hab hier aber ein Gegenbeispiel:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \mbox{ aus } \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> Diese Funktion ist doch auf ganz [mm]\IR[/mm] lückenlos diffbar,
> oder? Denn hier wird die Definitionslücke ja explizit
> ausgespart durch den Fall x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(0)=0
> Und 0 ist ja diffbar.
> Also müsste nach obiger Definition die Ableitung stetig
> sein...
Definition? - Satz! Aber dieser Satz ($f$ ableitbar in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ [/mm] $f$ stetig in [mm] $x_0$) [/mm] besagt nicht, dass die Ableitung stetig sein müsse. Eine Funktion kann durchaus überall ableitbar sein, ohne deswegen überall eine stetige Ableitung zu haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 02.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Stimmt...
Naja, aber die 1. Ableitung ist doch auch diffbar, und somit müsste die 1. Ableitung dann auch stetig sein!?
Diffbarkeit ist ja genau dann gegeben, wenn zu jedem x eine Ablitung f'(x) existiert...das ist hier ja auch gegeben für f'
|
|
|
| |
|
Hey, also deine oben angegebene Funktion ist sowohl stetig als auch differenzierbar als auch stetig differenzierbar, d.h. auch die Ableitung ist wieder stetig. Und hier in dem Fall sogar auch wieder diff'bar.
Du hast recht, die 1. Ableitung ist tatsächlich nicht mehr stetig. Hatte das irgendwie anders in Erinnerung!
Etwas anderes wäre:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \mbox{ aus } \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm] $
Diese Funktion ist nur stetig und differenzierbar. Die Ableitung davon ist nicht mehr stetig und somit nach deinem Satz oben (der stimmt) auch nicht mehr differenzierbar.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 02.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
dass meine Funktion stetig diffbar ist kann nicht sein, da laut Lösung die 1.Ableitung schon nicht mehr stetig ist (siehe meine anschuliche Erklärung im ersten Beitrag).
Was ich mich nur frage ist wie das nach dem Satz diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] stetig sein kann, da meiner Meinung nach die 1.Ableitung diffbar ist auf [mm] \IR
[/mm]
Also muss es wohl irgendeinen Grund dafür geben, dass f'(x) nicht diffbar ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 02.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
so das is ja ne Frage...dann tipp ichs nochmal in nen Frageartikel ;)
dass meine Funktion stetig diffbar ist kann nicht sein, da laut Lösung die 1.Ableitung schon nicht mehr stetig ist (siehe meine anschuliche Erklärung im ersten Beitrag).
Was ich mich nur frage ist wie das nach dem Satz diffbar [mm] \Rightarrow [/mm] stetig sein kann, da meiner Meinung nach die 1.Ableitung diffbar ist auf [mm] \IR
[/mm]
Also muss es wohl irgendeinen Grund dafür geben, dass f'(x) nicht diffbar ist
|
|
|
| |
|
Habe meinen obigen Artikel editiert. Die Ableitung ist tatsächlich nicht stetig, aber sie ist auch nicht mehr diff'bar.
Es ist ja:
[mm] f(X)=\begin{cases} 2x*sin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Die kritische Stelle ist ja [mm] x_0=0. [/mm] Betrachte dazu den Diff'quotienten:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(h)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\frac{2h*sin(\frac{1}{h})-cos(\frac{1}{h})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}2*sin(\frac{1}{h})-\frac{1}{h}cos(\frac{1}{h})
[/mm]
und dafür gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}2*\underbrace{sin(\frac{1}{h})}_{=\in[-1,1]}-\underbrace{\frac{1}{h}}_{=\infty}\underbrace{cos(\frac{1}{h})}_{\in[1,-1]}
[/mm]
Also kein Grenzwert.
Gruß Patrick
|
|
|
|
