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a) es seien f,g stetig in [a,b] und für alle x element Q geschnitten [a,b] gelte f(x)=g(x).. dann gilt f=g ind [a,b]
b) es sei f steig in [a,b] und f(x) element Q für alle x element [a,b] dann ist f konstant. Q sind die rationalen zahlen, also N Z Q R C
das soll ich beweisen und habe überhaupt keinen schimmer wie ich das anpacken soll.
kann mir jemand helfen? bitte
greetz
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mo 17.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo dschingis
nur mal ein paar hinweise zu den aufgaben - du kannst ja rückfragen stellen, wenn du nicht weiterkommst.
> a) es seien f,g stetig in [a,b] und für alle x element Q
> geschnitten [a,b] gelte f(x)=g(x).. dann gilt f=g ind [a,b]
da [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] dicht in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] liegt, gibt es zu jedem [m] x \in \mathbb{R}[/m] eine folge [m] (x_k)_{k \in \mathbb{N}} [/m], so dass [mm] $x_k \in \mathbb{Q}$ [/mm] und [mm] $\lim_{k \to \infty} x_k [/mm] = x$. wenn dir die folgendefinition der stetigkeit ein begriff ist, solltets du damit dein ziel schon fast erreicht haben ...
> b) es sei f steig in [a,b] und f(x) element Q für alle x
> element [a,b] dann ist f konstant. Q sind die rationalen
> zahlen, also N Z Q R C
nimm an, dass $f$ nicht konstant ist, dann gibt es $c < d$ mit $f(c) [mm] \not= [/mm] f(d)$ (oBdA sei $f(c) < f(d)$) und ein [mm] $\xi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, [/mm] so dass [m] f(c) < \xi
> das soll ich beweisen und habe überhaupt keinen schimmer
> wie ich das anpacken soll.
jetzt hast du ja schonmal ansätze. probiere mal, wie weit du damit kommst.
grüße
andreas
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Hallo,
danke erstmal für deine Antwort, aber ich habe jetzt 2 probleme:
1. Die folgendefinition der stetigkeit kenne ich nicht
2. ich kann mit dem ZWS nicht richtig umgehen
folgt nun mit dem zws, dass das ganze nicht nicht konstant ist, weil sich kein xi innerhalb dieses Intervalles konstruieren läßt, das die bedingungen erfüllt?
wäre super, wenn du mir nochmal helfen könntest.
gruß
dschingis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo dschingis
> Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort, aber ich habe jetzt 2
> probleme:
> 1. Die folgendefinition der stetigkeit kenne ich nicht
ok. das geht auch ohne folgendefinition. die [m] \varepsilon-\delta[/m]-definition kennst du aber?
betrachte die funktion [m] h(x) := f(x) - g(x) [/m]. diese ist auf ganz [m] \mathbb{Q} [/m] konstant null. es reicht ja jetzt zu zeiegn, dass $h [mm] \equiv [/mm] 0$ (klar, oder?).
nimm nun an, dass [m] h(x_0) = k \not= 0 [/m] für ein [m] x_0 \in \mathbb{R} [/m]. da $h$ als differenz zweier stetiger funktionen stetig ist, gibt es zu [m] \varepsilon := \frac{|k|}{2} > 0 [/m] ein [m] \delta > 0 [/m], so das [m] \forall x \in \mathbb{R} [/m] mit [m] |x_0 - x | < \delta [/m] gilt [m] |h(x_0) - h(x)| < \varepsilon [/m].
es gibt aber in jeder noch so kleinen delta umgebeung von [mm] $x_0$ [/mm] stets eine rationale zahl $x$ mit $h(x) = 0$, also gilt [m] |h(x_0) - h(x)| = |k - 0| = |k| \not< \frac{|k|}{2} = \varepsilon [/m], also wurde ein [m] \varepsilon > 0[/m] gefunden, zu dem es kein [m] \delta > 0[/m] existiert.
also ist die annahme, dass es eine stelle gibt, an der $h$ nicht null ist falsch und folglich [m] h(x) = 0 \; \forall \, x \in \mathbb{R} [/m].
kannst du das nachvollziehen? wenn nicht frage nach!
> 2. ich kann mit dem ZWS nicht richtig umgehen
dann mach dir mindestens mal die mühe, den hier anzugeben und stelle möglichst konkrete fragen.
grüße
andreas
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Hallo, danke für deine Antwort, ja das kann ich nachvollziehen, mir war das mit der Folgendefinition nur nicht klar.
Der ZWS sagt ja aus:
1. sei [a,b] ein Intervall, dann nimmt die Funktion alle Werte zwischen a und b an, es geht also auch auf (a,b)
2. wenn bei [a,b] a negativ ist und b positiv, dann gibt es mindestens eine Nullstelle.
außerdem habe ich ja ne vermutung aufgeschrieben, was aber falsch zu sein scheint, da du nicht drauf eingegangen bist.
ich probiers einfach nochmal, ok?
der widerspruch durch den zwischenwertsatz ist, dass es doch konstant ist, weil ja laut dem zwischenwertsatz alle punkte zwischen c und d angenommen werden, oder?
ich hoffe ich hab den zws jetzt endlich kapiert, komischerweise ist das eines der weniges dinge die mir probleme bereiten, aber mit dem zws kriegt man wirklich einiges raus. außerdem sieht das cool aus wenn man schreibt: aus dem zws folgert ....., oder was meinst du dazu?
danke nochmal für deine mühe
greetz
dschingis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Mißverständnis, keine Antwort auf deinen Vorschlag kommt wohl daher, dass a) und b) 2 verschiedene Aufgaben sind. die Antworten gingen erst mal auf a).
b) kannst du mit ZWS beantworten, aber den Widerspruchsbeweis mußt du schon genauer formulieren.
Gruß leduart
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