stetige Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, Kann mir jemand diese Aufgabe lösen, so dass ich den Lösungsweg nachvollziehen kann? Oder mir sagen, welche Schritte ich vollziehen muss um diese Aufgabe zu lösen?
Ich freue mich über jeden Tipp !!!
Ein Kundenberater arbeitet in einem Call-Center.Er empfängt Anrufe aus aller Welt,d.h. aus allen Zeitzonen;aus diesem Grunde hängt die Häufigkeit der Anrufe nicht von der Tageszeit ab.
Sei nun t die (zufällige) Zeit zwischen zwei Anrufen,wobei wir diese Zeit in Sekunden messen.Die Erfahrung sagt,dass die Verteilungsfunktion V die folgende Struktur hat:Es gibt ein c > 0 mit
V(x) = p(t ≤ x) = 1 − e^(− c mal x) für alle x ≥ 0
Dieser Wert V(x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür,dass es bis zum nächsten Anruf höchstens x Sekunden dauert.Oder anders ausgedrückt:Wenn man nach einem Anruf x Sekunden vergehen lässt,so ist V(x) die Wahrscheinlichkeit dafür,dass während dieser Zeitspanne ein neuer Anruf eingetroffen ist.
Der Vollständigkeit halber definieren wir
V(x) = p( t ≤ x ) = 0 für alle x < 0.^17
a.)Der Kundenberater hat festgestellt, dass er in der Hälfte aller Fälle höchstens 20 Sekunden auf den nächsten Anruf warten muss.Bestimmen Sie aus dieser Angabe die Zahl c in der Gleichung
V(x) = 1 − e^(− c mal x) .
Runden Sie bitte diese Zahl auf 5 Nachkommastellen.
Hinweis:In der Gleichung [mm] e^{u} [/mm] = v kann man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus ln bilden;auf diese Weise erhält man u = ln(v).
b.)Wie wahrscheinlich ist es,dass spätestens nach 10 Sekunden der nächste Anruf ankommt?
c.)Bestimmen Sie die Zahl x mit der folgenden Eigenschaft:Mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit dauert es höchstens x Sekunden,bis der nächste Anruf hereinkommt.
Hinweis: Auch hier führt beidseitiges Logarithmieren zum Ziel.
d.)Bestimmen Sie diejenige zu V gehörende Dichtefunktion f,die folgendermaßen aufgebaut ist:
[mm] f(x)=\begin{cases} V′(x), & \mbox{ falls } x\not=0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeichnen Sie außerdem die Funktionsgraphen von V und f in ein Koordinatensystem.
Folgenden Hinweis gibt es zu der Aufgabe:
Wenn [mm] A(x)=e^{B(X)}ist, [/mm] so ergibt die Kettenregel, dass A'(x)=B'(x) mal [mm] e^{B(X)}
[/mm]
Sie dürfen darauf vertrauen, dass die von Ihnen konstruierte Funktion f tatsächlich eine Dichtefunktion ist. Insbesondere brauchen Sie nicht nachzuweisen, dass die Fläche unter dem Graphen von f den Inhalt 1 hat.
Ebenso dürfen Sie darauf vertrauen, dass V die zu f gehörende Verteilungsfunktion ist. Das heißt, dass Sie diese Beziehung zwischen V und f nicht beweisn müssen.
Ihre Zeichnung soll ungefähr den Bereich -5<_x<_50 abdecken. Es empfiehlt sich, die x-Achse in 5er Schritte einzuteilen, wobei der Abstand zwischen x und (x+5) ungefähr 1 cm beträgt. In der vertikalen Achse sollte der Abstand zwischen y und (y+0,1) ungefähr 1,5 cm betragen. Bei diesen Vorgaben können Sie beide Funktionsgraphen recht gut in ein einziges Koordinatensystem eintragen. Sie können aber auc zwei verschiedene Koordinatensysteme anlegen, eines für V und das andere für f.
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