stetige Funktion jeden Wert 2x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 27.01.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Ich soll die Frage beantworten, ob es eine stetige Funktion [mm] f:\IR \to\IR [/mm] gibt, die jeden Wert, den sie annimmt genau zweimal annimmt.
Ich denke, dass es keine solche Funktion gibt. Ich weiß leider nicht so richtig, wie ich das begründen soll.
Ich habe mir gedacht, dass eine stetige monotone Funktion eine stetige monotone Umkehrfunktion besitzt und somit eindeutig ist. Ist sie aber eindeutig, so kann sie jeden Wert auch nur einmal annehmen.
Stimmt das so? Bin ich mit dieser Begründung auf dem richtigen Weg? Wie begründe ich meine Vermutung für Funktionen, die stetig, aber nicht monoton sind?
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinen weiteren Foren gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Do 27.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe suchst du eine Funktion, die genau 2mal den gleichen Wert annimmt und stetig ist. Also für mich hört sich das direkt nach x² oder die Betragsfunktion an. Das einzige Problem ist hier x=0. Man bräuchte ne Funktion die bei x gegen null nach [mm] \pm\infty [/mm] geht und bei x gegen [mm] \infty [/mm] gegen [mm] \mp\infty [/mm] dann wäre das problem behoben. Dann wäre diese Funktion aber bei x=0 nicht definiert. Wenn man darüber hinwegschaut würde deine Funktion so lauten:
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ >0} \\ -\bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
Wenn man darüber nicht hinwegschaut bekommt man glaube ich keine Funktion hin. Also hast du recht
Ich denke, dass man das nicht wirklich formal beweisen kann. Die Funktion darf ja keinen Extrempunkt besitzen weil dieser ja nur einmal angenommen wird, also könnte man vielleicht dort nen formalen Beweis ansetzen.
Ansonsten würde ich es Anhand der Überlegungen wie so eine Funktion ausschauen müsste(s.o.) wiederlegen. Da es eine solche stetige Funktion nicht gibt.
Grtnx Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Do 27.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Moin,
>
> wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe suchst du
> eine Funktion, die genau 2mal den gleichen Wert annimmt und
> stetig ist. Also für mich hört sich das direkt nach x² oder
> die Betragsfunktion an.
Da man ja nicht existenz zeigen soll, sucht man sie wohl vergebens ...
> Das einzige Problem ist hier x=0.
Bei deinen 2 ja - aber bei anderen?
> Ich denke, dass man das nicht wirklich formal beweisen
> kann.
was denn nicht formal beweisen? (btw: formal im Sinne von Kalkül fordert ja eh kaum wer ...). Also die nichtexistenz einer solchen Funktion beweist man doch, in dem man die Existenz zum Wdsp. führt. Also: ang. es gäbe so ein f - dann existieren [mm]x_1,x_2:f(x_1)=f(x_2)[/mm] - dann existiert Max/Min - dazu gibt es dann aj wieder genau eine weitere Stelle mit gleichen Wert - und wieso liefert uns eine Fallunterscheidung jetzt einen Wdsp.?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Do 27.01.2005 | | Autor: | Didi |
> wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe suchst du
> eine Funktion, die genau 2mal den gleichen Wert annimmt und
> stetig ist.
Genau so hatte ich die Aufgabenstellung gemeint.
An [mm] x^2 [/mm] hatte ich auch schon gedacht. Klappt aber wie gesagt bei der 0 nicht. Glaub auch nicht, dass wir 0 einfach aus dem Definitionsbereich nehmen dürfen.
Müsste also eigentlich darauf hinauslaufen, dass es solch eine Funktion nicht gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Do 27.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Didi!
Ich denke, ebenso wie alle anderen bisher, dass man zeigen kann, das eine solche Funktion nicht existieren kann. Ich würde einen formalen Beweis so ansetzen, dass man sich überlegt, "wie oft" (d.h. an wie vielen Stellen) eine solche Funktion ihr Monotonieverhalten ändern müsste und "wie oft" sie es maximal ändern könnte. Und versuchen, mit den Stellen, wo diese Funktion das Monotonieverhalten ändert, einen Widerspruch zu erzeugen.
Das ganze ist jetzt etwas "unmathematisch" und vaage formuliert, aber evtl. liefert es dir ja eine Idee zur Lösung der Aufgabe. Da ich das ganze nicht weiter durchdacht habe, ist es auch nur eine Mitteilung und keine Antwort! 
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 27.01.2005 | | Autor: | Edi1982 |
es gibt keine solche Funktion, das Problem sind die Hoch und Tiefpunkte
angenommen die Funktion hat irgendwo ein lokales Maxima, dann nimmt sie Werte die ein bisschen kleiner sind in der Umgebung 2 mal an, das Maxima aber nur einmal, und das ergibt ein Problem, wenn du das Max noch ein 2. Mal haben willst, muss die Funktion an dieser Stelle ein lokales Min haben, Zwischenwertsatz, Widerspruch, (Skizze zeichnen)
lokales Minima ananlog
wenn die Funktion keine lok Max oder Min hat, ist sie monoton und dann klappt es auch nicht
man kann (und sollte) das alles ordentlich mit Epsilonumgebungen und so weiter formulieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
lag also net so falsch bei meiner Vermutung. Ich geb dir jetzt noch nen Hinweis wie es vielleicht doch klappt. Also ich hab heute Ana I geschrieben und da hies es dass eine Funktion "fortgesetzt werden kann". Mhhh was das genau bedeutet weiß ich nicht aber damit kann man diesen die Polstelle bei 0 überbrücken. Kannst ja mal schauen ob du was dazu im Internet findest.
Gruß Shaguar
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