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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Do 14.12.2006 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Die Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] sei stetig und es gelte f(0)=f(1). Zeige, dass es dann ein [mm] x_{2} \in [/mm] [0,1/2] mit [mm] f(x_{2})=f(x_{2}+1/2) [/mm] gibt.
Gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_{n} \in [/mm] [0,1-1/n] mit
[mm] f(x_{n})=f(x_{n}+1/n) [/mm] ?
(Beweis oder Gegenbeispiel!)
Tip: Was ist g(0)+g(1/2) für g(x):= f(x+1/2)- f(x) ? |
Hallo Leute,
Ich verstehe nicht was [mm] f(x_{2})=f(x_{2}+1/2) [/mm] bedeuten soll, wie ich mir das vorstellen soll.
Kann mir da jemand helfen?
Danke schon mal im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Do 14.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Ich verstehe nicht was [mm]f(x_{2})=f(x_{2}+1/2)[/mm] bedeuten soll,
> wie ich mir das vorstellen soll.
Na, du hast eine Funktion, und zwei Werte aus dem Urbildbereich, und dann sollen die Bilder gleich sein. zB beim Sinus [m]\sin(0)=\sin(\pi)=0[/m], so als Vergleich.
SEcki
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Was du dir darunter vorstellen kannst:
Der einfachheit halber sei f(0) = f(1) = 0.
Und nimm dir jetzt mal die Funktion f(x) = -x(x-1)
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel mit ihren NST bei 0 und 1.
Der Satz sagt nun letztendlich nichts weiter aus, daß es ein [mm] x_0 \in [0,\bruch{1}{2}][/mm] gibt, das den gleichen Funktionswert hat, wie ein [mm] x_1 [/mm] aus [mm] [\bruch{1}{2}, [/mm] 1], d.h. [mm] f(x_0)=f(x_1) [/mm] mit der besonderen Eigenschaft, daß [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist. In der oben genannten Funktion müssten das [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] sein.
Als Tip für den Beweis: Zwischenwertsatz! + den bereits gegebenen Tip anwenden, dann stehts eigentlich schon da.
Gruß,
Gono.
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