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ich schaue mir gerade noch einmal die letzte klausur an, und muss mit erschrecken feststellen, das ich die stetigkeitsaussagen nicht verstehe, [mm] \epsilon\delta [/mm] stetigkeit verstehe ich
wäre nett wenn ihr mir bei folgenden definitionen mit einer umgangssprachlichen beschreibung helfen koenntet
[mm] \epsilon\delta [/mm] stetigkeit
eine funktion f heisst stetig in einem punkt a, wenn für ein beliebig kleines [mm] \epsilon, [/mm] für alle x
[mm] f(a)-f(x)<\epsilon [/mm] für |x-a|<delta gilt
umgangsprachlich:
eine epsilon umgebung bezeichnet quasi die vertikale hoehe, mit der delta umgebung wird quasi die horizontale distanz angegeben, es muss fuer jede noch so kleine epsilon ( hoehe ) ein delta gefunden werden koennen so dass halt die abstaende der funktionsergebnisse aus der delta umgebung alle im rahmen liegen ...
das verstehe ich, denn ist die funktion an einer stelle nicht stetig ( sie besitzt einen sprung ) so kann diese bedingung fuer ein beliebig kleines epsilon nicht mehr erfuellt werden,...
nun zu meinem problem :
die funktion f: M-> R ist stetig in a [mm] \in [/mm] M , wenn
a)...
für jede folge [mm] (x_n), x_n \in [/mm] M mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=a [/mm] gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(a)
[/mm]
verstehe ich nicht, bzw. weiss nicht wie die sachen miteinander zu tun haben, wenn n doch gegen unendlich geht, wie kann dann eine aussage zum punkt a gemacht werden ?
b) ... [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = f(a) ist
auch hier wieder mein problem, was hat der limes einer unendlichen folge mit der stetigkeit im punkt a zu schaffen ?
und zu guter letzt:
c) ... für jede folge [mm] (x_n) [/mm] n [mm] \in [/mm] K , [mm] x_n \in [/mm] M mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=a [/mm] die folge [mm] (f(x_n)))n\inK [/mm] konvergiert
damit kann ich nun auch nichts anfangen ... ;)
wäre nett wenn mir jemand mit ein paar worten klar machen koennte wieso diese aussagen a-c definitionen der stetigkeit sind ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:52 So 13.03.2005 | | Autor: | leduart |
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> das verstehe ich, denn ist die funktion an einer stelle
> nicht stetig ( sie besitzt einen sprung )
Spruenge sind fuer Unstetigkeit nicht noetig, guck dir [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] fuer x -->0 an, kein Sprung, aber immer schnellere Oszillationzwischen +1 und -1)
so kann diese
> bedingung fuer ein beliebig kleines epsilon nicht mehr
Auf der Schule ist Unstetigkeit fast immer mit einem Sprung verbunden, daran solltest du aber nicht zu sehr festhalten. (umgekehrt ist natuerlich ein Sprung eine Unstetigkeit!)
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> nun zu meinem problem :
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> die funktion f: M-> R ist stetig in a [mm]\in[/mm] M , wenn
>
>
> a)...
> für jede folge [mm](x_n), x_n \in[/mm] M mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=a[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(a)
[/mm]
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> verstehe ich nicht, bzw. weiss nicht wie die sachen
> miteinander zu tun haben, wenn n doch gegen unendlich geht,
> wie kann dann eine aussage zum punkt a gemacht werden ?
Die Aussage gilt nur, wenn sie fuer ALLE Folgen gilt. Aber stell dir z. Bsp. die
Folge [mm] a+\bruch{1}{n} [/mm] vor oder a- [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] oder a + irgendeiner Nullfolge. Dann waere hier [mm] x_{n}=a+\bruch{1}{n}. [/mm] wenn [mm] n-->\infty [/mm] geht [mm] x_{n} [/mm] gegen a.
Die Vorstellung ist nun, wenn du IRGENDEINE Folge von x-Werten nimmst die auf a zulaufen muessen die zugehoerigen Funktionswerte auf f(a) zulaufen! Dass n gegen |infty laeuft heisst ja nur dass der Zaehlindex groesser wird! Denk immer auch an Nullfolgen! Die Schwierigkeit bei dieser Definition liegt bei dem Wort "jede beliebige" Folge von xn! D.h. du darfst beim Beweis keine bestimmte benutzen (Eine bestimmte Nullfolge koennte "gefaehrliche" Werte nich erfassen.z.Bsp [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nimmt ja nur rationale Werte an!
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> b) ... [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = f(a) ist
>
> auch hier wieder mein problem, was hat der limes einer
> unendlichen folge mit der stetigkeit im punkt a zu schaffen
> ?
Dqas sollte mit obigem klar sein.
> und zu guter letzt:
>
> c) ... für jede folge [mm](x_n)[/mm] n [mm]\in[/mm] K , [mm]x_n \in[/mm] M mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=a[/mm] die folge [mm](f(x_n)))n\inK[/mm]
> konvergiert
Ich hoffe das ist auch klar, mit deiner Aussage mit den vielen Klammern und 2 n komm ich nicht zurecht.
> wäre nett wenn mir jemand mit ein paar worten klar machen
> koennte wieso diese aussagen a-c definitionen der
> stetigkeit sind ...
Den genauen Beweis, dass beide Definitionen equivalent sind musst du nachlesen es sind mehr als :ein paar " Worte.
Hoffentlich sind diese Erklaerungen nicht schon ein paar zu viel Worte. Meld dich noch mal, ob du's verstehst.
Gruss leduart
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> > die funktion f: M-> R ist stetig in a [mm]\in[/mm] M , wenn
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> > a)...
> > für jede folge [mm](x_n), x_n \in[/mm] M mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=a[/mm] gilt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(a)[/mm]
> [mm][/mm]
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> Die Aussage gilt nur, wenn sie fuer ALLE Folgen gilt. Aber
> stell dir z. Bsp. die
> Folge [mm]a+\bruch{1}{n}[/mm] vor oder a- [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] oder a +
> irgendeiner Nullfolge. Dann waere hier
> [mm]x_{n}=a+\bruch{1}{n}.[/mm] wenn [mm]n-->\infty[/mm] geht [mm]x_{n}[/mm] gegen a.
> Die Vorstellung ist nun, wenn du IRGENDEINE Folge von
> x-Werten nimmst die auf a zulaufen muessen die zugehoerigen
> Funktionswerte auf f(a) zulaufen! Dass n gegen |infty
> laeuft heisst ja nur dass der Zaehlindex groesser wird!
> Denk immer auch an Nullfolgen! Die Schwierigkeit bei dieser
> Definition liegt bei dem Wort "jede beliebige" Folge von
> xn! D.h. du darfst beim Beweis keine bestimmte benutzen
> (Eine bestimmte Nullfolge koennte "gefaehrliche" Werte nich
> erfassen.z.Bsp [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nimmt ja nur rationale Werte
> an!
so, also diese beschreibung hilft mir schon weiter, jetzt mal mit meinen worten :
1. du hast als beispiele alle folgen die als grenzwert a besitzt, ein paar folgen generiert mit
(a + (irgendein e nullfoglge )
das diese folgen nun fuer [mm] n->\infty [/mm] gegen a gehen sehe ich aufgrund der nullfolgen ein, was ja eigentlich auch trivial ist ;)
so, nun folgerst du das dfer limes dr funktion nun gerade gegen f(a) geht, also
limes [mm] n->\infty [/mm] von [mm] f(a_n)=f(a) [/mm]
so, das kling logisch, da die folge ja als grenzwert a besitzt, muss auch der fnktionswert gleich dem wert an der stelle a sein, gut und schoen, nur: WAS HAT DAS MIT STETIGKEIT ZU TUN !!!!!!!!!!!
auch beim weiteren drueberschauen wird mir nicht klar wieso das eine aussage zur stetigkeit ist, es ist ja klar das die funktion gegen f(a) konvergiert,
nun nehme ich mal an f ist unstetig an der stelle a
dazu setze ich a = 0 und nehme die funktion
f(x)=1 fuer x<=0 und f(x)=0 fuer x>0
so, nun moechte ich die position 0 auf stetigkeit pruefen ... der funktionswert an der stelle 0 ist also 1
nun nehme ich eine nullfolge ... an = 1/n .... diese konvergiert gegen a = 0
so, und da lim n -> 0 ist auch lim n->unendlich [mm] f(a_n) [/mm] = f ( 0 )
damit haette ich aber die stetigkeit an der stelle 0 gezeigt, was doch offensichtlich falsch ist, was checke ich hier nun nicht ??!?!?
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